5.3诱导公式（1）学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）高一数学必修第一册课时同步学案 5.3　诱导公式(1) 第1课时　诱导公式二、三、四 【知识梳理】 【知识点一】特殊关系角的终边对称性 (1)π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图(1)； (2)－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图(2)； (3)π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图(3)； (4)－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，如图(4)． 【知识点二】诱导公式 (1)诱导公式二 sin(π＋α)＝－sinα， cos(π＋α)＝－cosα， tan(π＋α)＝tanα. (2)诱导公式三 sin(－α)＝－sinα， cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝－tanα. (3)诱导公式四 sin(π－α)＝sinα， cos(π－α)＝－cosα， tan(π－α)＝－tanα. 诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”，其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角． 【题型探究】 【类型一】给角求值问题 【例1】利用公式求下列三角函数值： (1)sin(－945°)；(2)cos. 【方法归纳】 利用诱导公式解决给角求值问题的基本步骤： 【变式训练1】求下列各式的值： (1)sin； (2)cos(－60°)－sin(－210°)； (3)sin585°cos1 290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°. 【类型二】给值(式)求值问题 【例2】(1)已知sinβ＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为 (　　) A．1　　　　　　　　　　 B．－1 C. D．－ (2)已知cos＝，求cos－sin2的值． 【方法归纳】 解决条件求值问题的两技巧 1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系. 2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 【变式训练2】已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝. 【类型三】三角函数式的化简与证明 【例3】(1)化简：＝________； (2)求证：＝－tanα. 【方法归纳】 1．利用诱导公式一～四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的． (2)化简时函数名不发生改变，但一定要注意函数的符号有没有改变． (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切． 2．关于三角恒等式的证明，常用方法： (1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简； (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异． 【变式训练3】证明：＝. 【课堂练习】 1．sin585°的值为(　 　) A．－　　　B.　 　 　C．－　　　D. 2．若cos(π＋α)＝－，则cosα的值为(　 　) A. B．－ C. D．－ 3．化简：·tan(2π－α)＝_______. 4．已知tanα＝，且α为第一象限角，则sin(π＋α)＋cos(π－α)＝___________. 5．已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：＝－. 【课堂小结】 1．明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0～π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将角转化为0～的角求值 2.公式一～四的总结和记忆规律 α α＋2kπ π＋α π－α －α(或2π－α) sinα sinα －sinα sinα －sinα cosα cosα －cosα －cosα cosα tanα tanα tanα －tanα －tanα α＋2kπ(k∈Z)，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时，等式左边三角函数值的符号． 【参考答案】 【例1】【解】(1)方法一：sin(－945°)＝－sin945° ＝－sin(225°＋2×360°)＝－sin225° ＝－sin(180°＋45°)＝sin45°＝. 方法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°) ＝sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝. (2)方法一：cos＝cos ＝co