专题05 利用函数的奇偶性求函数的解析式（期末大题3）-2023-2024学年高一上学期期末数学大题秒杀技巧及专项练习（人教A版2019必修第一册）

专题05 利用函数的奇偶性求函数的解析式（期末大题3） （原卷版） 题型 利用函数的奇偶性求函数的解析式 基础：函数奇偶性的定义及图象特点 ①偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数且图象关于轴对称. ②奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数且图象关于原点对称. 技巧：判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．针对求解析式及其重要. 利用函数的奇偶性求函数的解析式解题步骤如下： 第一步：设出所求区间的自变量,取相反数； 第二步：将代入题干已知的表达式中； 第三步：利用奇偶性求出的表达式. 注意：求函数值时由内到外依次求值 模型1：已知定义域为的偶函数满足：当时，，且． (1)求的解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递增． 破解：（1）由题知，，解得， 第一步：设出所求区间的自变量,取相反数； 设，则， 第二步：将代入题干已知的表达式中； 所以， 第三步：利用奇偶性求出的表达式. 所以 （2）第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； 设， 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 则， 因为，所以，，，， 第三步：定符号，得出结论. 所以，， 第四步：得出结论．同号递增，异号递减 所以，在上单调递增. 模型2：已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 破解：（1）因为为奇函数，所以， 第一步：设出所求区间的自变量,取相反数； 当时，， 第二步：将代入题干已知的表达式中； 则， 第三步：利用奇偶性求出的表达式. 由为奇函数，得， 又满足， 所以 （2）第一步：利用基础工具确定函数的单调性 当时，易知为单调递增函数， 则由奇函数的性质可知是定义在上的增函数， 第二步：一定要将目标变形成的形式 又因为，所以， 第三步：依据函数的单调性把符号脱掉，脱掉的原则：若函数单调递增则（不变号），若函数单调递减则（变号） 故有， 第四步：解不等式． 即，解得，所以. 1．已知函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数是定义域为的奇函数，且当时，，求的解析式，并写出的值域． 2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)若，求实数a的取值范围. 3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)用单调性定义证明函数在区间上是增函数. 5．设函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； 6．已知是定义域为的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)求在上的解析式. 7．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)判断函数在区间上的单调性，并证明. 8．已知是定义在R上的偶函数，当时，． (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递减，求实数m的取值范围． 9．若是定义在上的偶函数，当时，. (1)求的解析式； (2)讨论在上的单调性，并用定义证明. 10．已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)当时，求的解析式； (2)求的单调递减区间． 11．已知函数为奇函数，且当时， (1)求的值； (2)求当时，的解析式； (3)求在上的最小值. 12．已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求在上的解析式； (2)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减． 13．已知是定义在上的偶函数，且时，. (1)求函数的表达式； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. (3)解不等式. 14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围. 15．已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)判断在内的单调性，并用定义证明. 16．已知﹐为定义在R上的奇函数，当时， (1)求函数； (2)判断并证明函数的奇偶性． 17．已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)若在上单调递增，求a的取值范围． 18．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，有． (1)求函数在上的解析式，并用定义证明在上的单调性； (2)解关于x的不等． 19．已知函数是定义在上的偶函数，当时， (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 20．已知定义域为的偶函数满足：当时，，且． (1)求的解析式； (2)用单调性的定义证明