第2讲 三角形的内角与外角-2023-2024学年八年级数学上学期期末复习一点通（人教版）

八年级数学一点通 第2讲 三角形的内角和外角 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 考点1：三角形的内角和定理 1. 三角形内角和定理： 文字语言：三角形的内角和为180°． 图形语言： 符号语言： 三角形内角和定理的作用：已知任意两个角的度数求出第三个角的度数； 考点2：直角三角形两锐角互余 1.文字语言：直角三角形中，两个角互余. 2.图形语言： 3.符号语言：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°∴∠A＋∠B＝90° 考点3：三角形的外角 1． 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角． 2． 图形语言： 3． 符号语言：∠ACD是△ABC的一个外角． 4．外角的性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角； （3）三角形的外角和等于360°． 证明：在△ABC中，由内角和定理得∠A＋∠B＋∠ACB＝180° ∵∠ACB＋∠ACD＝180° ∴∠ACD＝∠A＋∠B 考点4：关于三角形内角与外角角平分线的常用结论： 如图①，BD,CD是两内角平分线，则∠BDC＝90°+∠A 如图②，BD,CD是两外角平分线，则∠BDC＝90°－∠A 如图③，BE,CE是一内角一外角平分线，则∠BEC＝∠A 题型一：根据三角形内角和定理计算角的度数 例题1．如图，将三角形纸片沿虚线剪掉两角得五边形，若，，根据所标数据，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例题2．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（    ） A． B． C． D． 题型二：根据角的关系式判断三角形的形状 例题3．中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角二角形 D．无法确定 题型三：根据直角三角形两锐角互余计算角度 例题4．如图，直线，是直角三角形，，顶点A在直线上，边交直线于点，边交直线于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型四：三角形内角和定理的证明 例题5．在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 题型五：利用三角形外角性质计算角度 例题6．如图，在中，，分别为，的角平分线，，则（    ） A．120° B．125° C．130° D．140° 例题7．如图所示，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置．则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型六：三角形内角和与外角、角平分线的综合题 例题8．如图，已知，若点是和外角的角平分线的交点，点是和外角的角平分线的交点，点是和外角的角平分线的交点，…，以此类推，则的度数是（　　） A． B． C． D． 例题9．如图①，线段，相交于点，连接，，我们把形如图①的图形称为“字形”，试解答下列问题； (1)在图①中，请直接写出，、，之间的数量关系； (2)在图②中，若、，和的平分线和相交于点，并且与，分别相交于点，，利用（1）的结论，试求的度数． 例题10．将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边、恰好分别经过点B、C． (1)如图①，若时，点D在内，则____度，______度，_____度； (2)如图②，改变直角三角板的位置，使点D在内，请探究、、之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论． (3)如图③，改变直角三角板的位置，使点D在外，且在边的左侧，判断、、三者之间存在的数量关系并说明理由． 1、 选择题 1．一次数学活动中，小明对纸带沿AB折叠，量得，则的度数为（ ） A． B． C． D． 第1题 第2题 2．如图，把三角形纸片沿折叠，当点落在三角形内部时，与，之间的数量关系是（    ）   A． B． C． D． 3．如图，将三角形纸片沿折叠使点A落在点处，且平分，平分．若，则（　　）   A． B． C． D． 第3题 第4题 4．如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形的为（    ）   A． B． C． D． 5．当三角形中一个内角是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果“一个友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为（ ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 6．一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，AB∥CF，，，，则的度数（　　）