专题06 反比例函数两个伴侣考点勾股定理及全等三角形-2023-2024学年九年级数学下册提优专题及提优测试卷（人教版）

专题6 反比例函数两个伴侣考点勾股定理及全等三角形（原卷版） 类型一 反比例函数与勾股定理（勾股定理→线段关系→坐标关系） 1．（2022秋•曲周县期末）如图，直线y＝x+2与反比例函数的图象在第一象限交于点P．若OP＝10，则k的值为 　 　． 2．（2021春•淮安月考）如图，将矩形ABCO放在直角坐标系中，其中顶点B的坐标为（10，8），E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，过点E的反比例函数的图象与边AB交于点F，则线段AF的长为 　　． 3．（2023•武昌区模拟）如图所示，某双曲线y（k＞0，x＞0）上三点A、B、C的横坐标分别为1、2、3． （1）若A点的纵坐标为5，则B点的纵坐标是　 　； （2）若AB＝2BC，该双曲线的解析式； （3）将点A绕点B顺时针旋转90°到点D，连接BD、CD，若△BCD是直角三角形，直接写出满足条件的k值． 4．如图，B点为双曲线y＝（x＞0）上一点，直线AB平行于y轴，交直线y＝x于点A．求OB2﹣AB2的值． 类型二 反比例函数与全等三角形（构造全等→线段关系→坐标关系） 5．（2023春•内乡期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为（　　） A． B．3.5 C． D．5 6．（2020•亭湖区校级一模）如图，点A是双曲线y在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为　 　． 7．（2023•襄城区模拟）如图平面直角坐标系中，点A（1，n）和点B（m，1）为双曲线第一象限上两点，连接OA、OB． （1）试比较m、n的大小； （2）若∠AOB＝30°，求双曲线的解析式． 8．如图，点M为双曲线y（x＞0）上一点，已知A（0，﹣1），B（5，0），若MA＝MB，且MA⊥MB，求k的值． 9．如图，直线y＝3x和双曲线y（x＞0）交于点A，点P为双曲线上一点，且∠POA＝∠1+∠2，求点P的坐标． 类型三 反比例函数与勾股定理、全等三角形的综合 10．如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y＝3x﹣4经过等腰Rt△AOB直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y＝（x＞0）也恰好经过点A． （1）求k的值； （2）如图2，过点O作OD⊥AC于D，求CD2﹣AD2的值； （3）如图3，将△AOB绕点A逆时针旋转，射线AO交x轴正半轴于点P，射线AB交（1）中双曲线上于点Q，△PAQ能否成为以A为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求点P，Q的坐标；若不能，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数（x＞0）图象上一点，作AB⊥x轴于B点，AC⊥y轴于C点，得正方形OBAC的面积为16． （1）求A点的坐标及反比例函数的解析式； （2）点P（m，）是第一象限内双曲线上一点，请问：是否存在一条过P点的直线l与y轴正半轴交于D点，使得BD⊥PC？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由； （3）连BC，将直线BC沿x轴平移，交y轴正半轴于D，交x轴正半轴于E点（如图所示），DQ⊥y轴交双曲线于Q点，QF⊥x轴于F点，交DE于H，M是EH的中点，连接QM、OM．下列结论：①QM+OM的值不变；②的值不变．可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6 反比例函数两个伴侣考点勾股定理及全等三角形（解析版） 类型一 反比例函数与勾股定理（勾股定理→线段关系→坐标关系） 1．（2022秋•曲周县期末）如图，直线y＝x+2与反比例函数的图象在第一象限交于点P．若OP＝10，则k的值为 　48　． 【思路引领】可设点P（m，m+2），由OP＝10根据勾股定理得到m的值，进一步得到P点坐标，再根据待定系数法可求k的值． 【解答】解：设点P（m，m+2）， ∵OP＝10， ∴10， 解得m1＝6，m2＝﹣8（不合题意舍去）， ∴点P（6，8）， ∴8， 解得k＝48． 故答案为：48． 【总结提升】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点P的坐标，难度不大． 2．（2021春•淮安月考）如图，将矩形ABCO放在直角坐标系中，其中顶点B的坐标为（10，8），E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，过点E的反比例函数的图象与边AB交于点F，则线段AF的