专题01 集合与常用逻辑用语 -2023-2024学年高一数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）

专题01 集合与常用逻辑用语 目录 【知识梳理】 2 【重点保分】 5 【重点保分一】集合的概念 5 【重点保分二】子集、真子集个数 8 【重点保分三】集合间的包含关系与Venn图 10 【重点保分四】并集、交集与补集的基本运算 12 【重点保分五】充分条件与必要条件 15 【重点保分六】全称量词与存在量词 17 【难点增分】 19 【难点增分一】空集的应用 19 【难点增分二】并集、交集与补集的性质及应用 23 【难点增分三】容斥原理的应用 26 【培优满分】 29 【培优满分一】利用集合运算求参数 29 【培优满分二】充要条件的判定与证明 32 【培优满分三】集合新定义 36 【技巧总结】 40 【单元检测】 45 知识梳理 1、元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 2、集合中元素的特征 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 3、元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 4、常用的数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 5、列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 6、描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 7、子集的含义 (1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. (2)子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 8、真子集与集合相等 (1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). 9.集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C： ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若AB，BC，则AC. 10、空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集. 11、并集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 12、交集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 13、交集与并集的运算性质 (1)A∪A＝A，A∪＝A；A∩A＝A，A∩＝. (2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 14、全集与补集的含义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 15、补集的性质 ∁U(∁UA)＝A，∁UU＝，∁U＝U. 16、命题的概念 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. (3)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论. 17、充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 18、充要条件 命题真假 若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题 推出关系 p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 19、全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”