第九题 空间向量与立体几何-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（乙卷专用）

第九题 空间向量与立体几何 真题展示与解法精粹 已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 典型高考真题 一、单选题 1．（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 3．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 4．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 5．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 6．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 7．（2022·全国·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 8．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 9．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 10．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 11．（2021·天津·统考高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 12．（2021·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 13．（2021·北京·统考高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点． （1）求证：为的中点； （2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 14．（2021·浙江·统考高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 15．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 16．（2021·全国·统考高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 模拟题训练 一、单选题 1．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，正方体中，P是的中点，给出下列结论： ①；②平面 ③；④平面 其中正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知等腰直角的三个顶点在球O的表面上，且，连接CO并延长交球O的表面于点D，连接DA，DB；若球O的体积为288π，则直线AC，BD所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·模拟预测）如图，已知正四棱锥的底面边长和高分别为2和1，若点E是棱PD的中点，则异面直线PA与CE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川凉山·统考一模）如图，在棱长为的正方体中，是底面正方形的中心，点在上，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·湖南长沙·统考一模）在平行六面体中，已知，，，，，则的值为（    ） A．10.5 B．12.5 C．22.5 D．42.5 6．（2023·全国·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·河南·统考模拟预测）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，则过线段且垂直于平面的截面图形为（    ） A．等腰梯形 B．三角形 C．正方形 D．矩形 8．（2023·福建莆田·统考二模）在正