第十四章 整式的乘法与因式分解 复习讲义 2023-2024学年人教版数学八年级上册

第十四章整式的乘法与因式分解 知识点回顾： 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 乘法公式： ①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． ②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍． 因式分解： 因式分解的定义． 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 熟练掌握因式分解的常用方法． 1、提公因式法 （1）掌握提公因式法的概念； （2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数； （3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． （4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 2、公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 3.十字相乘法 提升练习 一、单选题 1．计算：(﹣a2)3=（　　） A．a6 B．﹣a6 C．a5 D．﹣a5 2．下列计算正确的是（　　） A．（3a）3＝9a3 B．a3＋a2＝a6 C．a·a2＝a2 D．（a3）2＝a6 3．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．4xy+2x2﹣2xy﹣x2＝x2+2xy B．2y+xy+1＝y（2+x）+1 C．x﹣4xy＝x（1﹣4y） D．（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2 4．若 ，则 为（　　） A．－15 B．2 C．8 D．－2 5．若(x-a)(x-5)的展开式中不含有x的一次项，则a的值为（　　） A．0 B．-5 C．5 D．5或-5 6．已知（x+m）（x-5）=x2-3x+k．则k，m的值分别是（　　） A．k=10，m=2 B．k=10，m=-2 C．k=-10，m=-2 D．k=-10，m=2 7．多项式，；分解因式后，结果含有相同因式的是（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，将如图一所示的大小相同的四个小正方形按图二所示的方式放置在一个边长为a的大正方形中，中间恰好空出两条互相垂直的宽都为b的长方形，根据图二中阴影部分的面积计算方法可以验证的公式为（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab 二、填空题 9．计算 的结果等于　 　． 10．代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，结果是　 　． 11．如果，，那么　 　. 12．已知a2﹣4b＝﹣18，b2+10c＝7，c2﹣6a＝﹣27，则a+b+c的值是　 　. 13．如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是　 　 三、解答题 14．化简下列各式： （1）3（2﹣y）2﹣4（y+5） （2）（x+2y）（x﹣2y）﹣y（x﹣8y） 15．因式分解： （1