概率知识梳理-2024届高三数学一轮复习

概率知识梳理 1.随机试验的概念与特点 (1)概念：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验，常用字母E表示.例如，抛一枚硬币、掷一个均匀的骰子等,都可以看成 . (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行；（可重复性） ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（可预知性） ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．（随机性） 2.样本点和样本空间 (1)定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为 ，全体样本点的集合称为试验E的样本空间． (2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点． (3)有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间=为有限样本空间． 说明：样本点的探求方法 (1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题． (2)列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数．列表法适用于较简单的试验的题目，样本点较多的试验不适合用列表法． (3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目． 3. 随机事件的有关概念 (1)基本事件：只包含一个样本点的事件称为基本事件． (2)随机事件:我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件，随机事件一般用大写字母A,B,C,表示． (3)事件A发生：在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现． ⑷必然事件:作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件． (5)不可能事件:空集中不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件． 说明: ①必然事件和不可能事件具有确定性，在一定条件下能确定其是否发生，随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．当然，条件的不同以及条件的变化都可能影响事件发生的结果，要注意从问题的背景中体会条件的特点． ②必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集. 4．事件的关系与运算 定义 符号表示 图形表示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A＝B 并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω， A∩B＝∅ 说明：事件间运算的方法 (1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． (2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算． 注意： 事件A与事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生；对立事件是指在一次试验中，两个事件不会同时发生，且必然要有一个事件发生．因此，对立事件是互斥事件的特例，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．对立事件是对两个事件而言的，而互斥事件是对两个或两个以上事件而言的．从集合的观点来判断：设事件A与B所含的样本点组成的集合分别是A，B，若A，B互斥，则A∩B＝∅，若A，B对立，则A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，即∁ΩB＝A，∁ΩA＝B.互斥事件A与B的和A＋B可理解为集合A∪B. 5.古典概率 (1)概率的定义 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件 A的概率用P (A)表示． (2)古典概型的定义 ①有限性:样本空间的样本点 个；②等可能性:每个样本点发生的可能性 ． 我们将具有以上