培优提分3-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案课时作业word（新教材）

1．(2023·济南模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S－S＝8n. (1)求Sn； (2)在数列{an}的每相邻两项ak、ak＋1之间依次插入a1、a2、…、ak，得到数列{bn}：a1、a1、a2、a1、a2、a3、a1、a2、a3、a4、…，求{bn}的前20项和T20. 解：(1)对任意的n∈N*，因为S－S＝8n， 当n≥2时，S＝(S－S)＋…＋(S－S)＋S＝8(n－1)＋…＋8×1＋1＝8[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝8×＋1＝(2n－1)2， 因为an＞0，所以Sn＞0，故Sn＝2n－1. 当n＝1时，S1＝a1＝1适合Sn＝2n－1， 所以Sn＝2n－1，n∈N*. (2)因为Sn＝2n－1，n∈N*， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－[2(n－1)－1]＝2， 所以，an＝， 所以，数列{bn}的前20项分别为：1、1、2、1、2、2、1、2、2、2、1、2、2、2、2、1、2、2、2、2， 所以{bn}的前20项是由6个1与14个2组成．所以T20＝6×1＋14×2＝34. 2．(2023·海口模拟)将数列{an}按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为数列{an}的一个分群数列，{an}称为这个分群数列的原数列．如(a1，a2，…，ar)，(ar＋1，ar＋2，…，at)，(at＋1，at＋2，…，as)，…，(am＋1，am＋2，…，an)，…是数列{an}的一个分群数列，其中第k个括号称为第k群．已知数列{an}的通项公式为an＝2n. (1)若数列{an}的一个分群数列每个群都含有3项，该分群数列第k群的最后一项为bk，求数列{bn}的通项公式． (2)若数列{bn}的一个分群数列满足第k群含有k项，Ak为{an}的该分群数列第k群所有项构成的数集，设M＝{m|am∈Ak，am＋6∈Ak＋2}，求集合M中所有元素的和． 解：(1)由题意，该分群数列第k群的最后一项bk＝a3k，由an＝2n，所以bn＝a3n＝6n，所以数列{bn}的通项公式为bn＝6n. (2)由题意，该分群数列第k群含有k项，所以该分群数列的前6群为： (a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，(a7，a8，a9，a10)，(a11，a12，a13，a14，a15)，(a16，a17，a18，a19，a20，a21)， 又am∈Ak，am＋6∈Ak＋2，显然有k≤5. 当m＝2,3,5,6,10时满足am∈Ak，am＋6∈Ak＋2，即M＝{2,3,5,6,10}． 所以集合M中所有元素之和为2＋3＋5＋6＋10＝26. 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝，n∈N*. (1)求证：数列{an}是等差数列； (2)若数列{an}的公差不为0，数列{an}中的部分项组成数列，…，该数列恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求数列{kn}的通项公式． 解：(1)因为Sn＝，所以2Sn＝n(a1＋an)， 所以2an＋1＝2Sn＋1－2Sn＝(n＋1)(a1＋an＋1)－n(a1＋an)， 即(n－1)an＋1＝nan－a1，所以nan＋2＝(n＋1)an＋1－a1， 两式相减得：nan＋2＋nan＝2nan＋1，即an＋2＋an＝2an＋1， 所以数列{an}是等差数列． (2)设等差数列{an}的公差为d≠0，其子数列为等比数列， 其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，可得：＝a1，＝a5，＝a17， 且有a＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，解得：a1＝2d，所以an＝(n＋1)d， 于是a1＝2d，a5＝6d， 所以子数列为首项为2d，公比为＝3的等比数列， 则＝2d·3n－1，即(kn＋1)d＝2d·3n－1，解得：kn＝2·3n－1－1， 所以数列{kn}的通项公式为：kn＝2·3n－1－1. 4．(2023·鞍山模拟)已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，若Sn＋1＋Sn＝3n2＋6n＋3，a1＝2. (1)记bn＝an＋an＋1判断{bn}是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由． (2)记cn＝(－1)n＋1anan＋1，{cn}的前n项和为Tn，求Tn. 解：(1)因为Sn＋1＋Sn＝3n2＋6n＋3， 当n＝1时，S2＋S1＝2a1＋a2＝3＋6＋3＝12，又因为a1＝2，a2＝8，所以b1＝a1＋a2＝10， 当n≥2时，因为Sn－Sn－1＝an，由Sn＋1＋Sn＝3n2＋6n＋3，得an＋1＋Sn＋Sn＝3n2＋6n＋3①，所以an＋2Sn－1＝3(n－1)2＋6(n－1)＋3②， 所以①－②得： an＋1＋an＝6n＋3，故bn＝， 显然{bn}不是等差数列． (2)由a