第一部分 专题二 第1讲 平面向量-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案课时作业word（新教材）

一、单选题 1．设a，b为两个非零向量，则“a＝2023b”是“＝”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[因为a＝2023b，所以a，b同向共线，所以＝，因为＝， 所以a，b同向共线，此时得不出a＝2023b，所以“a＝2023b”是“＝”的充分不必要条件．故选A.] 2．(2023·白山三模)已知向量a＝(1，m)，b＝(－1,0)，且|a－b|＝a·b＋6，则|a|＝(　　) A.　B．2　　C.　　D．2 解析：C　[因为向量a＝(1，m)，b＝(－1,0)， 所以a－b＝(2，m)，a·b＝－1， 又因为|a－b|＝a·b＋6， 所以＝5， 解得m2＝21， 所以|a|＝＝，故选C.] 3．(2023·锦州一模)在△ABC中，点D在边AB上且CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝3，|b|＝4，则＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：C　[因为CD平分∠ACB，所以＝，又＝a，＝b，|a|＝3，|b|＝4， 所以＝，即AD＝AB，所以＝， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝b＋a.故选C.] 4．(2023·淄博诊断)已知向量a，b满足a·b＝10，且b＝(6，－8)，则a在b上的投影向量的坐标为(　　) A．(－6,8) B．(6，－8) C. D. 解析：D　[因为向量b＝(6，－8)，且a·b＝10，那么|b|＝＝10， 所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·＝·＝×＝，故选D.] 5．(2023·全国甲卷)向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：D　[由a＋b＋c＝0得a＋b＝－c， 所以(a＋b)2＝(－c)2， 即a2＋2a·b＋b2＝c2， 又|a|＝|b|＝1，|c|＝， 所以a·b＝0，所以a⊥b. 如图所示：a－c＝，b－c＝，由余弦定理得|CA|＝|CB|＝，所以cos∠ACB＝＝，即cos〈a－c，b－c〉＝.故选D.] 6．(2023·南通三模)平面向量a，b满足，a2－a·b－4＝0，|b|＝3，则|a|最大值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：B　[设向量a，b的夹角为θ， ∵a2－a·b－4＝0，|b|＝3， ∴a2－4＝a·b＝3|a|cos θ， ∴3cos θ＝＝|a|－，且a≠0 ∵0≤θ≤π，∴－1≤cos θ≤1， －3≤|a|－≤3，∵|a|＞0， 解可得，1≤|a|≤4，即|a|最大值是4.故选B.] 7．已知O为△ABC的外接圆的圆心且AB＝3，AC＝2，若＝x＋y，且x＋2y＝1，则cos∠BAC＝(　　) A. B. C. D. 解析：B　[取AC的中点D，连接OD，OB如图， 则＝2，由＝x＋y，得＝x＋2y，又x＋2y＝1， 因此B，O，D三点共线，由O为△ABC的外接圆的圆心，得OD⊥AC，即BD⊥AC， 所以cos∠BAC＝＝.故选B.] 8.(2023·石家庄三模)中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它原本是旧石器时代的缝衣打结，后推展至汉朝的仪礼记事，再演变成今日的装饰手艺．中国结显示的精致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面．已知某个中国结的主体部分可近似地视为由一个大正方形(内部是16个边长为2的小正方形)和16个半圆所组成，如图，A、C是中国结主体部分上的定点，点B是16个半圆上的动点，则·的最大值为(　　) A．66＋6 B．66＋4 C．66＋2 D．18 解析：C　[抽取其中部分图形，建立如图所示的平面直角坐标系， 作BD⊥AC于D，则·＝||||cos∠BAC＝||||， 因此只要||最大，则·取得最大值，由图知当B点是靠近点C上方的半圆E与AC垂直的切线的切点·取得最大值． 图中点C上方最靠近C点的圆E的方程为(x－1)2＋(y－8)2＝1，C(2,8)，kAC＝＝4，因此kBD＝－， 设圆E的斜率为－的切线方程为y＝－x＋m，即x＋y－m＝0， 由＝1，解得m＝±， 由图可知图形中半圆E的切线方程为y＝－x＋＋， A点到它的距离为d＝＝＋1，所以||的最大值为＋1， 所以(·)max＝×＝66＋2，故选C.] 二、多选题 9．(2023·广州冲刺三)已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　) A．a·b＝5 B．|a－b|＝ C．〈a，b〉＝ D．a∥b 解析：ABC　[a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，A正确；a－b＝(2,1)