第四部分 每日一练 第二周-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案课时作业word（新教材）

[第二周] ●周一 　(2023·湖州二模)已知数列{an}满足：a1＝2，且对任意的n∈N*，an＋1＝ (1)求a2，a3的值，并证明数列是等比数列； (2)设bn＝a2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)a2＝＝1，a3＝23a2＋2＝10. 由题意得a2n＋1＋＝22n＋1a2n＋＝22n＋1＋＝4a2n－1＋＝4， 又a1＋＝≠0，所以数列是等比数列． (2)由(1)知bn＝a2n－1＝·4n－1－. 运用分组求和，可得Tn＝(40＋41＋42＋…＋4n－1)－n＝·－n＝(4n－1)－n. ●周二 　(2023·滨州二模)如图，圆锥PO的母线长为，侧面积为2π，△ABC是圆O的内接正三角形． (1)证明：AP⊥平面PBC； (2)若AD是圆O的直径，求二面角A－PB－D的余弦值． 解：(1)设圆O的半径为r， 因为圆锥的母线长为，侧面积为2π，所以·2πr·＝2π，解得r＝2. 因为△ABC是圆O的内接正三角形，且r＝AB，所以AB＝2， 在△ABP中，AP＝BP＝，AB＝2， 所以AP2＋BP2＝AB2，故AP⊥PB， 同理可得，AP⊥PC， 又因为PB∩PC＝P，且PB、PC⊂平面PBC，所以AP⊥平面PBC. (2)过点O做OE∥CB，交圆O于点E，以O为坐标原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 所以A(0，－2,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0，)， ＝(，3,0)，＝(0,2，)， ＝(，－1,0)，＝(0，－2，)． 设平面ABP的法向量n1＝(x1，y1，z1)，则 所以解得 取y＝－1，则n1＝(，－1，)． 设平面DBP的法向量n2＝(x2，y2，z2)，则 所以解得 取x2＝1，则n2＝(1，，)． 所以cos〈n1，n2〉＝＝＝， 由题意知，二面角A－PB－D的平面角为钝角， 所以二面角A－PB－D的余弦值为－. ●周三 　(2023·锦州一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,5(a＋c)sin B＝12csin A. (1)若a＝c，求cos A的值； (2)是否存在以B为直角顶点的Rt△ABC？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)(法一)5(a＋c)sin B＝12csin A， 由正弦定理得5(a＋c)b＝12ac， 又因为a＝c，所以10ab＝12ac，即b＝c. 由余弦定理知cos A＝＝＝. (法二)因为a＝c，所以A＝C， 又5(a＋c)sin B＝12csin A， 所以10csin B＝12csin A，c≠0，即5sin B＝6sin A. 所以5sin(π－2A)＝6sin A，即5sin 2A＝6sin A， 所以10sin Acos A＝6sin A， 因为A∈(0，π)，sin A≠0，所以cos A＝. (2)不存在以B为直角顶点的直角三角形，理由如下： 因为5(a＋c)sin B＝12csin A， 由正弦定理， 得5(sin A＋sin C)sin B＝12sin Asin C， 若B＝，则sin B＝1， 且sin C＝sin＝cos A， 所以sin A＋cos A＝sin Acos A＝sin 2A, 将上式两边平方得：1＋sin 2A＝sin22A， 所以(9sin 2A＋5)(4sin 2A－5)＝0. 因为A∈，0＜sin 2A≤1， 所以9sin 2A＋5＞0，且4sin 2A－5＜0，方程无解． 故不存在满足条件的三角形． ●周四 　(2023·马鞍山二模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，离心率e＝. (1)求双曲线C的方程； (2)设P，Q为双曲线C上异于点M(a，b)的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝2k1k2，求证：直线PQ过定点． 解：(1)因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，离心率e＝， 所以有⇒⇒b2＝c2－a2＝1 ⇒－y2＝1. (2)由题意可知直线PQ存在斜率，所以直线PQ的方程设为y＝kx＋m， ⇒(1－2k2)x2－4kmx－2m2－2＝0， 则有 ⇒， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝， 显然M的坐标为(2,1)， 所以由k1＋k2＝2k1k2⇒＋＝2··⇒＝2··⇒(kx1＋m－1)(x2－2)＋(kx2＋m－1)(x1－2)＝2(kx1＋m－1)·(kx2＋m－1)⇒2kx1x2＋(m－1)(x1＋x2)－2k(x1＋x2)－4(m－1)＝2k2x1x2＋2k(m－1)(x1＋x2)＋2(m－1)2⇒2k(k－1)x1x2＋(2km－m＋1)(x1＋x2)＋2(m－1)(m＋1)＝0， 把x1＋x2＝