第四部分 大题规范练一-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案课时作业word（新教材）

[大题规范练] 大题规范练一 1．(2023·青岛三模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csin B＝(2a－c)tan C. (1)求角B； (2)若c＝3a，D为AC中点，BD＝，求△ABC的周长． 解：(1)∵2csin B＝(2a－c)tan C，所以2sin Csin B＝(2sin A－sin C)·，sin C≠0， 则2sin Bcos C＝2sin A－sin C＝2sin(B＋C)－sin C＝2(sin Bcos C＋cos Bsin C)－sin C， 整理得2sin Ccos B＝sin C， 又sin C≠0，∴cos B＝，而B∈(0，π)，∴B＝. (2)c＝3a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋9a2－2a×3a×cos＝7a2，b＝a， D是AC中点，则AD＝CD＝a， 在△ABD中由余弦定理得，cos∠ADB＝， 在△CBD中由余弦定理得，cos∠CDB＝， ∠CDB＋∠ADB＝π，cos∠CDB＋cos∠ADB＝0， ∴＋＝0，解得a＝2， 所以△ABC的周长为 a＋b＋c＝a＋a＋3a＝8＋2. 2．(2023·邯郸三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn＋1(n∈N*)． (1)求{an}通项公式； (2)设bn＝，在数列{bn}中是否存在三项bm，bk，bp(其中2k＝m＋p)成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由． 解：(1)由题意，n∈N*，在数列{an}中， an＋1＝3Sn＋1(n∈N*)， an＝3Sn－1＋1(n∈N*，n≥2)， 两式相减可得，an＋1－an＝3an，an＋1＝4an，n≥2， 由条件，a2＝3a1＋1＝4a1，故an＋1＝4an(n∈N*)． ∴{an}是以1为首项，4为公比的等比数列． ∴an＝4n－1(n∈N*)． (2)由题意及(1)得，n∈N*， 在数列{an}中，an＝4n－1(n∈N*)， 在数列{bn}中，bn＝， 如果满足条件的bm，bk，bp存在， 则b＝bmbp，其中2k＝m＋p， ∴＝·， ∵2k＝m＋p， ∴(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)，解得k2＝mp， ∵2k＝m＋p， ∴k＝m＝p，与已知矛盾，所以不存在满足条件的三项． 3．(2023·衢州二模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC⊥平面AA1B1B，△ABC是正三角形，D是棱BC上一点，且CD＝3DB，A1A＝A1B. (1)求证：B1C1⊥A1D； (2)若AB＝2且二面角A1－BC－B1的余弦值为，求点A1到侧面BB1C1C的距离． 解：(1)取AB，BC的中点O，E，连接A1O，A1D，OD，AE， ∵△ABC为等边三角形，∴AE⊥BC， ∵A1A＝A1B，O为AB中点，∴A1O⊥AB， ∵CD＝3DB，E为BC中点，∴D为BE中点， 又O为AB中点，∴OD∥AE，∴OD⊥BC， ∵平面ABC⊥平面AA1B1B，平面ABC∩平面AA1B1B＝AB，A1O⊂平面AA1B1B， ∴A1O⊥平面ABC， 又BC⊂平面ABC，∴A1O⊥BC， ∵A1O∩OD＝O，A1O，OD⊂平面A1OD， ∴BC⊥平面A1OD， ∵A1D⊂平面A1OD，∴BC⊥A1D，又BC∥B1C1，∴B1C1⊥A1D. (2)取B1C1中点F，连接A1F，DF， 由三棱柱结构特征知：A1F∥AE，又OD∥AE， ∴OD∥A1F，即A1，O，D，F四点共面， 由(1)知：BC⊥平面A1ODF， ∵A1D，DF⊂平面A1ODF，∴BC⊥DF，BC⊥A1D， ∴∠A1DF是二面角A1－BC－B1的平面角， ∴cos∠A1DF＝， 作A1G⊥DF，垂足为G， ∵BC⊥A1G，DF⊥A1G，BC∩DF＝D，BC，DF⊂平面BCC1B1， ∴A1G⊥平面BCC1B1， 设A1O＝h，则AA1＝， 又AE＝A1F＝＝，∴OD＝AE＝， ∴A1D＝，DF＝＝， ∴cos∠A1DF＝＝＝，解得h＝， 又sin∠A1DF＝， ∴S△A1DF＝A1D·DFsin∠A1DF＝DF·A1G， 即×××＝×·A1G， 解得A1G＝， 即点A1到侧面BB1C1C的距离为. 4．(2023·长春三模)国学小组有编号为1,2,3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮比赛，先答第一题；②若第i(i＝1,2,3，…，n－1)号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续比赛；③若第i(i＝1,2,3，…，n－1)号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮