每日一练 第五周-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案教师用书word（新教材）

[第五周] ●周一 　(2023·济南二模)根据国家统计局统计，我国2018～2022年的新生儿数量如下： 年份编号x 1 2 3 4 5 年份 2018 2019 2020 2021 2022 新生儿数量y(单位：万人) 1 523 1 465 1 200 1 062 956 (1)由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量y与年份编号x的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于x的经验回归方程，并预测我国2023年的新生儿数量． 因为y与x的相关系数近似为－0.98，说明y与x的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系． 所以＝－＝1 241.2－(－153.7)×3＝1 702.3， 所以y关于x的经验回归方程为 ＝－153.7x＋1 702.3， 将2023年对应的年份编号x＝6代入经验回归方程得＝－153.7×6＋1 702.3＝780.1， 所以我国2023年的新生儿数量约为780.1万人． ●周二 　(2023·云南333联考二)正项数列{an}的前n项和为Sn，已知2anSn＝a＋1. (1)求证：数列{S}为等差数列，并求出Sn，an； (2)若bn＝，求数列{bn}的前2 023项和T2023. 解：(1)由2anSn＝a＋1，可得2S＝S＋1， 又因为Sn为正项数列{an}的前n项和， 所以S1＝a1＝1， 因为an＝Sn－Sn－1， 所以2(Sn－Sn－1)Sn＝(Sn－Sn－1)2＋1， 所以S－S＝1(n≥2)，数列{S}为等差数列， 所以S＝n，Sn＝，an＝， 所以an＝－. (2)bn＝＝(－1)n(＋)， T2 023＝－1＋＋1－－＋＋－…－－＝－. ●周三 　(2023·淮北二模)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PC⊥BD，PA＝AB＝PB. (1)证明：PA⊥底面ABCD； (2)线段PD上是否存在点E，使平面ACE与平面PAB夹角的余弦值为？若存在，指出点E位置；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC， 又PC⊥BD， AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC， PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA. 又PA＝AB＝PB，所以PA⊥AB. 结合BD⊥PA，PA⊥AB，BD∩AB＝B，BD，AB⊂底面ABCD，得PA⊥平面ABCD. (2)取线段BC的中点F，结合题设及(1)的结论，如图所示建立空间直角坐标系． 不妨设AB＝2，则P(0,0,2)，D(2,0,0)， C(1，，0)，B(－1，，0)， 假设存在E(x0，y0，z0)符合条件， 设＝λ，(0≤λ≤1) 即(x0，y0，z0－2)＝λ(2,0，－2)，即x0＝2λ，y0＝0，z0＝2－2λ， 所以E(2λ，0,2－2λ)． 设平面PAB的法向量n1＝(x1，y1，z1)， ＝(－1，，0)，＝(0,0,2)，则 即，令y1＝，则x1＝，z1＝0，即n1＝. 注意到＝(1，，0)，＝(2λ，0,2－2λ)，设平面ACE的法向量n2＝(x，y，z)，则 即，令y＝－， 则x＝1，z＝，即n2＝. 由题设知＝＝， 即＝，所以2＝， 得λ＝－(舍)或λ＝. 综上，λ＝时符合条件，此时点E为线段PD的靠近点P的四等分点． ●周四 　(2023·鞍山质监二)请从①asin B－bcos Bcos C＝ccos2B；②(sin A－sin C)2＝sin2B－sin Asin C；③＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(如未作出选择，则按照选择①评分．选择的编号请填写到答题卡对应位置上．) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若__________， (1)求角B的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，c＝1，求a2＋b2的取值范围． 解：(1)若选① 因为asin B－bcos Bcos C＝ccos2B， 由正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos Bcos C＋ sin Ccos2B， 即sin Asin B＝cos B(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝cos Bsin(B＋C)， 所以sin Asin B＝cos Bsin A， 由A∈(0，π)，得sin A≠0，所以sin B＝cos B，即tan B＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝. 若选② 由(sin A－sin C)2＝sin2B－sin Asin C，化简得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C. 由正弦定理得：a2＋c2－b2＝ac，即＝，所以cos B＝. 因为B∈(0，π)，所以B＝. 若选③ 由正弦定理得＝sin A， 即s