4.3.2 等比数列的前n项和公式课件（第二课时）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2 等比数列的前n项和公式 （第二课时） 1 1.等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1、公比q(q≠1)与项数n 首项a1、末项an与公比q(q≠1) 首项a1、 公比q＝1 求和公式 2.等差数列前n项和公式的两种形式 常数项为0的关于n的二次型函数． 类比等差数列，等比数列的前n项和Sn有什么函数特性？ 思考： 复习引入 等比数列的前n项公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q=1时是不同的公式形式，不可忽略q=1的情况. 当q=1时，Sn=na1是n的正比例函数. 当q≠1时， 是一个指数式与一个常数的和，且指数式的系数与常数项互为相反数. 新知探究 1.设b∈R，数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，则(　　) A．{an}是等比数列 B．{an}是等差数列 C．当b＝－1时，{an}是等比数列 D．当b≠－1时，{an}是等比数列 解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋b， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1， 当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，{an}是等比数列． 当b≠－1时，a1不适合an＝2·3n－1，{an}不是等比数列． 练一练 等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即S n，S2n－Sn，S3n－S2n…成等差数列．那么等比数列是不是也有类似的性质呢？ 类比探究 证明： 不用分类讨论的方式能否证明该结论？ 另解： 为什么要公比q ≠﹣1？ 追问： B 练一练 D 4. 例3. 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和; (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列. 解:设各个正方形的面积组成数列{an}，正方形ABCD的面积为首项a1 , 则a1=25 . 你能说明理由吗？ 11 所以，当10个正方形的面积之和为 练一练 5. 例4 .某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). 分析: (1)可以利用每年存栏数的增长率为8%和每年年底卖出100头建立cn+1与cn的关系； (2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式, 通过比较系数,得到方程组； (3)利用(2)的结论可得出解答. 例4 .某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). 解:(1)由题意，得c1=1200,并且cn+1=1.08cn-100. ① (2)将cn+1-k=r(cn-k)化成c n+1 =rcn-rk+k. ② 比较①②的系数可得 所以(1)中的递推公式可以化为cn+1-1250=1.08(cn-1250)． 例4 .某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). (3)由(2)可知，数列{cn-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则 (c1-1250)+(c2 -1250)+(c3-1250)+⋯+(cn-1250) = (c1+c2+c3+…+c10)-10×1250 所以S10=c1+c2