抽象函数性质知识总结与题型归纳讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

抽象函数性质知识总结与题型归纳 1概念:我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征. 2 常见抽象函数模型 题型一：“巧妙赋值”求函数值问题 技巧再现：“赋值思维”抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。 有如下规律技巧： （1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等 （2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取。. （3）第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）。 例1：已知函数是定义在上的函数，且对任意，都有，，求. 例2：已知定义域为，对任意都有，当时，，．求，，的值; 例3：对任意实数，均满足且， 则_______. 变式1.设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件① 对任意正数，都有；②当时，；③． (1)求的值； 变式2.定义在上的函数，满足对任意，有，且．求，的值； 变式3.已知函数f（x）定义域为R，f（1）=2，f（x）≠0，对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，f（x）＞1；求的值； 题型二：抽象函数的单调性与奇偶性问题 知识再现1： 抽象函数的单调性常用单调性定义证明 （1）任取，且； （2）作差 此步有时也会用作商法：判断与的大小； （3）变形； （4）定号(即判断差的正负)； （5）下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． 知识再现2：证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。 1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等， 2.尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等。 3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。 例1：已知函数定义域为，若对任意的，都有，且时，. （1）判断的奇偶性； （2）讨论的区间上的单调性； （3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围. 变式1：设函数对任意的实数，，都有，且时，，. （1）求证：是奇函数； （2）试判断函数单调性； （3）试问当时，是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由. 例2：已知定义域为的函数满足对任，都有． （1）求证：是偶函数； （2）设时， ①求证：在上是减函数； ②求不等式的解集． 变式2：已知函数对于任意实数x，恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间的最大值； (3)解关于x的不等式：. 例3：已知函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，．求证：在上是单调减函数． 变式3：已知定义在上的函数对任意实数都满足，且．当时，． （1）求的值； （2）证明：在上是增函数； （3）解不等式． 例4：已知函数是定义在上的增函数，. （1）求；（2）求证：； （3）若，解不等式：. 变式4：已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f＝f（x1）－f（x2），且当x>1时f（x）>0，若f（3）＝1． （1）判断f（x）的单调性； （2）解关于的不等式； （3）若对所有恒成立,求实数． 例5：设函数的定义域为R，并且满足，且当时， (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明； (3)如果，求的取值范围； 变式5：定义在上的函数，满足对任意，有，且． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性，并证明你的结论； (3)当时，，解不等式． 例6：已知函数是定义在上的非常值函数，对任意，满足. （1）求，的值； （2）求证：对任意恒成立； （3）若当时，，求证：函数在上是增函数. 变式6：已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围. 例7：已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明 (2)解不等式： 变式7：已知定义域为，对任意都有，当时，，． （1）求的值. （2）试判断在上的单调性，并证明？ （3）解不等式：. 变式8：若定义在R上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数， (1)求的值，并证明为奇函数； (2)解不等式. (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 例8：定义在上的函数，对任意，都有，且当时，． （1）求与的值； （2）证明为偶函数: （3）判断在上的单调性，并求解不等式． 变式9.定义在上的函数，对任意x，y∈I，都有；且当时，. （1）求的值； （2）证明为偶函数； （3）求解不等式. 题型三：抽象函数的周期性问题 例1：奇函数定义在上，且对常数，恒有，则在区间上，方程根的个数最小值为 . 例2：是定义在上的函数，对一切都有且 （1）求；