14.1.3 反证法 导学案 2023--2024学年华东师大版数学八年级上册

3.反证法 学习目标： 1.了解反证法的意义及用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤； 2.学会运用反证法证明有关命题. 自主学习 一、知识链接 1.在证明一些命题是真命题时，一般采用__________法. 2.在证明与图形有关的命题时，一般有哪些步骤？ 答：第一步：____________________；第二步：_______________；第三步：_________________. 二、新知预习 1. 除了直接证明的方法，还有_________证明的方法，_________法就是常用的间接证明方法. 2.在证明一个命题时,有时先假设______的反面是正确的；然后通过_________，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设___________，进而得出原结论正确.这种证明方法叫做_______法. 合作探究 一、探究过程 探究点：反证法 操作 画出如下三角形，计算较短两边的长的平方的和，与较长边的平方，它们是否相等？ （1）1，1.5，2.4；（2）1.5，2，2.5；（3）1.5，2.5，3. 猜想 当一个三角形的三边a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形. 问题 你会如何证明这个猜想？ 【要点归纳】反证法步骤：先假设结论的反面是正确的；然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. 例1求证：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 已知： . 求证： . 证明：假设 ，则可设它们相交于点A.那么过点A 就有 条直线与直线c平行，这与“过直线外一点 ”矛盾. ∴假设不成立. ∴ . 【归纳总结】在推理论证时，要把新增的已知条件（即假设的内容）加进去，然后逐步推出与已知公理或定理之间的矛盾. 【针对训练】求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知： . 求证： . 证明：假设 ，即_______________________． ∴∠A+∠B+∠C＞____________，这与三角形的　 　相矛盾． ∴假设不成立. ∴　 　． 例2 求证：命题“三角形中最多有一个角是直角”. 【归纳总结】若结论的反面不止一种情况，必须把各种可能情况全部列举出来，并逐一加以否定，才能肯定原结论是正确的. 二、课堂小结 反证法的意义 反证法 反证法的一般步骤 用反证法证明有关命题 当堂检测 1.在证明“在△ABC中至少有一个角是锐角”时，第一步应假设（　　） A．三角形至少有一个角是锐角 B．三角形中至少有两个锐角 C．三角形中没有锐角 D．三角形中三个角都是锐角 2.反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设 . 3.写出下列各结论的反面： （1）a//b： ； （2）a≥0： ； （3）b是正数： ； （4）一个三角形中最多有一个钝角： ． 4.已知直线m、n是相交线，且直线l1⊥m，直线l2⊥n．求证：直线l1与l2必相交． 5.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的中点，且BD≠CE，求证：AB≠AC． 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.反证 2.画图，写出已知 写求证过程 写出结论 二、新知预习 1.间接 反证 2结论 演绎推理 基