专题03 抽象函数单调性的证明及解不等式（期末大题2）-2023-2024学年高一上学期期末数学大题秒杀技巧及专项练习（人教A版2019必修第一册）

专题03 抽象函数单调性的证明及解不等式（期末大题2） （原卷版） 题型 抽象函数单调性的证明及解不等式 抽象函数的单调性（正规解法） 使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，只给出函数的性质，需要利用所给的性质证明函数的单调性. 解题步骤： 第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且； 第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性. 抽象函数具体化（秒杀） 使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，但是可以根据所给的函数特征确定函数模型，属于抽象函数的内容延伸和实例化. 解题步骤： 第一步：由函数的解析式确定函数所属的模型； 常见函数模型包括： Ⅰ：若，可认为函数为幂函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅱ：若，可认为函数为对数函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅲ：若，可认为函数为指数函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅳ：若，可认为函数为正比例函数或 Ⅵ：若，可认为是余弦函数. Ⅶ：若，可认为函数为一次函数或 第二步：结合函数模型和函数的单调性的定义确定函数的单调性. 模型1、 已知定义在上的函数满足： ① 对任意，，有. ②当时，.试判定函数的单调性. 解：第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且；； 令，，， 令，，. 则函数是奇函数.设，则， 第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性. 为上减函数. 模型2、函数的定义域为，并满足以下条件：①对任意，有；②对任意，有；③. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：在上是单调增函数； （Ⅲ）若，且，求证：. 解：正规方法： (Ⅰ)令得： 因为，所以； （Ⅱ）第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且； 任取且设则 第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性. 因为，所以，所以在上是单调增函数； （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，因为 又， 所以 所以 秒杀方法： (Ⅰ)因为对任意，有，且对任意， 所以，当时故． （Ⅱ）因为，所以 所以在上是单调增函数，即在上是单调增函数 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，， 而，所以 所以 模型3、已知定义域为,对任意,都有,当时, ,. （1）求; （2）试判断在上的单调性,并证明; （3）解不等式:. 解：（1）由题意，令，得，解得 令，得，所以. （2）函数在上单调递减，证明如下： 第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且； 任取，且， 第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性. 可得 ，因为，所以，所以 即，所以在上单调递减. （3）令，得，∴ ∴ ∴，又在上的单调且 ∴，∴. ∴，即不等式解集为. 模型4、设函数对任意、都有，且当时，. （1）证明为奇函数；（2）证明在R上是减函数； （3）若，求在区间上的最大值和最小值. 解：（1）第一步：确定函数的奇偶性 由于函数对任意、都有， 该函数的定义域为，令，可得， 再令，可得，即，， 因此，函数为奇函数； ⑵第二步：取值定大小：设任意，且； 设，则， ，则，所以，， 因此，函数在上是减函数； （3）第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性. 因为函数在上是减函数，所以，函数在上也是减函数， 所以，函数在上的最大值和最小值分别为和， 而，， 因此，函数在上的最大值为，最小值为. 模型5、设是定义在R上的函数,对任意的,恒有，且当时, . (1)求的值;(2)求证:对任意,恒有.(3)求证:在R上是减函数. 解：(1) 令,有,当时,,所以有,于是有； (2)当时,有,因为,所以,已知当时,,所以,由(1)可知,所以有；已知当时,； 由(1)可知,故对任意,恒有； (3)第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且； 设且,所以有,而已知当时,,因此有 , 第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性. 而,由(2)的证明过程可知：, 于是由可得,所以有,根据(2)的性质可知：,所以有,因此在R上是减函数. 模型6、定义域为的函数满足：，若时，.试证明： (1)，(2)是的奇函数，(3)在上单调递增. 解：第一步：由函数的解析式确定函数所属的模型； 联想符合的一个原型， 时，，故，结合它性质尝试有下解： 第二步：结合函数模型和函数的单调性的定义确定函数的单调性. (1)，即 (2)，即，所以，是上的奇函数. (3)任取且，则.由已知得，， 又因为即f(x)在R上单调递减. 1．已知函数的定义域为，对，总有成立.若时，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求解关于的不等式的解集. 2．已知函数在定义域上恒为正，，对任意的，都有，当时，. (1)求，的值； (2)用定义证明：为上的减函数； (3)求不等式的解集. 3．已知定义域为，对任意x，，都有，当时，，且. (1)求和的值； (2)证明：函数在上单调递增； (3