21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系2023-2024学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 21.2 解一元二次方程 1 1.会求一元二次方程的两根之和与两根之积. 2.能利用根与系数的关系求代数式的值,增强综合应用知识解决问题的能力. 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是什么？ 求根公式不仅表示可以由方程的系数a、b、c决定根的值.而且反映了根与 系数之间的联系.一元二次方程根与系数之间的关系还有其他的表现方式吗？ 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 从因式分解法可知，方程（x-x1）（x-x2）=0（x1、x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1、x2与p、q之间的关系吗？ 把方程（x-x1）（x-x2）=0的左边展开，化为一般形式，得方程 x2-（x1+x2）x+x1x2=0 这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-（x1+x2），常数项q=x1x2. 于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1+x2=-p，x1x2=q 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，二次项的系数a未必是1，它的两个根的和、积又有怎样的关系呢？ 由此可得 根据求根公式可知, 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 因此，方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系: 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 注意：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 把 ax2+bx+c=0（a≠0）的两边同除以a，能否得出该结论？ 想一想 ∵ ax2+bx+c=0（a≠0）的两边同除以a 得 又∵x2-（x1+x2）x+x1x2=0 ∴-（x1+x2）= ，x1x2= 可得 x1+x2= ，x1x2= 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 例1．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1、x2的和与积. （1） x2-4x-5=0 （2）2x2+6x-1=0 解：(1) = -（-4）=4； = -5 （2） = = -3 ； = 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 归纳总结 在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用x1+x2=－ 时，注意“－ ”不要漏写. 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 1.关于方程x2+2x-4=0的根的情况，下列结论错误的是（　　） A.有两个不相等的实数根 B.两实数根的和为-2 C.没有实数根 D.两实数根的积为-4 C 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 2.若x1+x2=3，x12+x22=5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　） A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0 C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0 解：∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2-2x1x2=5， 而x1+x2=3，∴9-2x1x2=5， ∴x1x2=2，∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2-3x+2=0． A 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 例2．已知a、b是方程x2+2x-5=0的两根，不解方程求： (1) 的值 (2)a2+3a+b的值． 解：（1） （2）a2+3a+b=(a2+2a)+(a+b)=5-2=3 注意：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 归纳总结 用根与系