热点专题05指对数运算-2023-2024学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

热点专题05指对数运算 知识点1根式 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到: （1）.（2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时,为偶数时,,而中. 知识点2指数幂 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 2．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 知识点3对数的概念 1．对数的定义 一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2．常用对数与自然对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 3．指数与对数的互化 当时，. 4．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 知识点4对数的运算 1．对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3）． 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 2．对数换底公式 若，且，则(，且)． 3．由换底公式推导的重要结论 （1）.（2）.（3） 题型一 根式的化简与求值 【例1】当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（多选）已知，且，则以下结论错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】（多选）若，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．1 【变式1-2】求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 【变式1-3】设，，则化简为 . 题型二 根式与分数指数幂的混合运算 【例3】用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤. (1)； (2) 【例4】化简： ． 【变式2-1】计算下列各式： (1)； (2)，其中，. 【变式2-2】化简求值 (1)计算； (2) 【变式2-3】已知，，化简：． 题型三 由条件求值 【例5】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例6】若，则 ． 【变式3-1】已知，则 ． 【变式3-2】设，，求的值为 ． 【变式3-3】已知，求下列各式的值. (1) (2) (3) 题型四 指数式与对数式的互化 【例7】（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例8】已知，且，则xy的值为 ． 【变式4-1】（多选）在下列选项中，不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式4-2】已知正数，满足，则 ． 【变式4-3】已知，（，且），求的值． 题型五 解简单的对数方程 【例9】方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【例10】方程的实数解为 . 【变式5-1】若 ． 【变式5-2】已知方程，若2是方程的一个解，则 ；当时，方程的唯一解是 ． 【变式5-3】方程的实数解为 . 题型六 利用对数的运算性质进行化简 【例11】（多选）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例12】若，且，则实数的值为 ． 【变式6-1】若，则 ． 【变式6-2】已知实数M，N满足，则的最小值是 ． 【变式6-3】（1）; （2）. 题型七 运用换底公式进行化简及证明 【例13】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例14】（    ） A． B． C．15 D．12 【变式7-1】计算： (1) (2) 【变式7-2】已知，则的值（    ） A． B． C．1 D．2 【变式7-3】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 题型八 用已知对数表