串讲05 导数及其应用 【十五大题型串讲PPT】-2023-2024学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

串讲05 导数及其应用 高二苏教版数学上册期末大串讲 思维 导图 知识串讲 常用 技巧/结论 典型 例题 思维导图 知识串讲 1.函数的平均变化率 f(x0+Δx) Δx 知识串讲 2.函数y=f(x)在x=x0处的导数 可导 3.函数f(x)的导函数 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f '(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即 知识串讲 4.基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)=c(c为常数),则f '(x)=0; (2)若f(x)=xa(a∈Q,且a≠0),则f '(x)=axa-1; (3)若f(x)=sin x,则f '(x)=cos x; (4)若f(x)=cos x,则f '(x)=-sin x; (5)若f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f '(x)=axln a; 特别地,若f(x)=ex,则f '(x)=ex; 知识串讲 5.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=　　　　　　　　　;  (2)[f(x)·g(x)]'=　　　　　　　　;  f'(x)±g'(x) f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 6.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=　　　　　　　,即y对x的导数等于　　　　　的导数与　　　　　的导数的乘积.  y'u·u'x y对u u对x 知识串讲 7.函数的单调性与导数的关系 (1)已知函数f(x)在某个区间内可导, ①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间上　　　　　　 　　;  ②如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间上　　　　　　　　;  ③如果f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. (2)可导函数f(x)在[a,b]上单调递增,则有f'(x)≥0在[a,b]上恒成立. (3)可导函数f(x)在[a,b]上单调递减,则有f'(x)≤0在[a,b]上恒成立. (4)若函数y=f(x)在区间(a,b)上具有单调性,则f'(x)在该区间上不变号. 单调递增 单调递减 知识串讲 8.函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. f ′(x)<0 f ′(x)>0 f ′(x)>0 f ′(x)<0 知识串讲 (3)极小值点、极大值点统称为　　　，极小值和极大值统称为　　. 9.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条　　　　的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的　　； ②将函数y＝f(x)的各极值与　　　　　　　　　　　　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 极值点 极值 连续不断 极值 端点处的函数值f(a)，f(b) 常用技巧/结论 1.可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是∀x∈(a,b), 都有f '(x)≥0(f '(x)≤0)且f '(x)在(a,b)的任何子区间上都不恒为零. 2.对于可导函数f(x),f '(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件. 3.若f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上有最大值与最小值;若f(x)在[a,b]上具有单调性,则f(x)的最大值与最小值在区间端点处取得;若f(x)在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点,则极大(小)值点也是f(x)的最大(小)值点. 【例1】（2023·北京房山·高二统考期末）函数在上的平均变化率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得平均变化率为， 故选：C． 题型一：导数的概念及导数的运算 典型例题 【对点训练1】（2023·广西桂林·高二统考期末）设函数，则（    ） A． B． C． D．