5.3.2 函数的极值与最大(小)值第3课时函数的最大（小）值综合课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大(小)值（3） —函数的最大(小)值综合 第五章 一元函数的导数及其应用 2023/12/9 5.3 导数在研究函数中的应用 高二数学备课组 1 引 入 左正右负（左增右减），取得极大值； 左负右正（左减右增），取得极小值； 即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件. 2. 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0; 反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点. LOGO 2 探究新知 3.函数最大值和最小值的概念： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （2）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最小值 . LOGO 3 探究新知 一般地，如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,必有最大值和最小值.并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 1.取得最值的条件： 2.求函数的最值 ① 求函数f(x)在(a, b)内的极值； ② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)； ③ 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． LOGO 4 例题讲解 3.含参数的最值问题 LOGO 5 例题讲解 LOGO 6 探究新知 LOGO 7 探究新知 LOGO 8 例题讲解 LOGO 9 例题讲解 LOGO 10 例题讲解 4.函数的最值与不等式问题 LOGO 11 例题讲解 LOGO 12 探究新知 LOGO 13 例题讲解 所以,当x=1时, f(x)取得最小值. x (0, 1) 1 ( 1, +∞) f '(x) 0 f (x) – + 单调递减 单调递增 所以, f(x) ≥ f(1)=0, 即 令 ,解得 故当x>0时, . 除点(1,0)外，曲线C1： 在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的下方. 5.利用导数证明不等式 例4 解：将不等式 转化为 设 ,那么 LOGO 14 课堂练习 证明： x y O y=x-1 y=lnx 除点(1,0)外，曲线C1：y=x-1 在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的上方. LOGO 15 例题讲解 LOGO 16 例题讲解 LOGO 17 例题讲解 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证． LOGO 18 例题讲解 LOGO 19 例题讲解 LOGO 20 例题讲解 6.导数与函数的零点问题 ①确定函数的零点个数 LOGO 21 例题讲解 LOGO 22 例题讲解 LOGO 23 例题讲解 LOGO 24 例题讲解 ②根据函数的零点个数求参数范围 LOGO 25 例题讲解 LOGO 26 例题讲解 (1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围． LOGO 27 例题讲解 LOGO 28 例题讲解 7.导数在解决实际问题中的应用 问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1) 你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? (2) 是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大? 例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位: cm)是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. (1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大? (2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小? LOGO 29 例题讲解 例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位: cm)是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm