5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第2课时函数的最大（小）值课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大(小)值（2） —函数的最大(小)值 第五章 一元函数的导数及其应用 2023/12/9 5.3 导数在研究函数中的应用 高二数学备课组 1 引 入 √ × × √ LOGO 2 引 入 LOGO 3 引 入 左正右负（左增右减），取得极大值； 左负右正（左减右增），取得极小值； 即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件. 2. 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0; 反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点. LOGO 4 探究新知 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质. 也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值. 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小. 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值. LOGO 5 探究新知 3.函数最大值和最小值的概念： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （2）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最小值 . LOGO 6 探究新知 问题1：找出函数y=f(x)的在区间[a,b]内极大值、极小值： 追问1：那么f (x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢? 极大值： f(x2), f(x4), f(x6) 极小值： f(x1), f(x3), f(x5) 最大值：f(a) 最小值：f(x3) x O y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 LOGO 7 探究新知 问题2：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ x y O a b y=f(x) x y O a b x2 x1 x3 x4 x5 y=g(x) 最大值：f(b); 最小值：f(a) 最大值：f(x3); 最小值：f(x4) 一般地，如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,必有最大值和最小值.并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 1.取得最值的条件： LOGO 8 探究新知 追问1：为什么给定函数的区间必须是闭区间？ 因为不能保证f(x)在开区间上有最大值和最小值(最值有可能在区间端点处取得). O x y a b y=f(x) y=f(x) O x y a b O x y a b y=f(x) O x y a b y=f(x) LOGO 9 探究新知 在闭区间[a,b]上连续的函数必有最大值和最小值. 这里有两层意思： （1）给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值； （2）在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证f(x)有最大值和最小值. （1） （2） LOGO 10 探究新知 追问2：函数最值与极值有什么关系？ 求最值的方法：只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值. 1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的. 2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个. 3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值. LOGO 11 例题讲解 例6 解： x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3 f′(x) f(x) x y O 4 2 3 2.求函数的最值 LOGO 12 探究新知 2. 如果函数 f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么求 f(x)在[a ,b]内的最大值与最小值的步骤为： ① 求函数f(x)在(a, b)内的极值； ② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)； ③ 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 注意区分函数的极值与最值： 函数的极值是函数的局部性质，函数的最值是函数在指定区间上的