5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第1 课时函数的极值（1）课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大(小)值（1） —函数的极值 第五章 一元函数的导数及其应用 2023/12/9 5.3 导数在研究函数中的应用 高二数学备课组 1 引 入 单调性与导数的关系： 设函数y=f(x)在区间(a,b)内的导数为f′(x). 如果f′(x)>0， 如果f′(x)<0， 如果f′(x)=0， 复习: 如果f(x)在(a,b)内为增函数， 如果f(x)在(a,b)内为减函数， 则f(x)在(a,b)内为单调递增； 则f(x)在(a,b)内为单调递减； 则f(x)在(a,b)内为常数函数； 则f′(x)≥0在(a,b)内恒成立； 则f′(x)≤0在(a,b)内恒成立. LOGO 2 探究新知 问题1 如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 单调递增 单调递减 我们先来研究前面学习过的高台跳水问题. 观察下图，我们发现，当 t = a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大. O t a b h h′(a)=0 t<a,h′(t)>0 t>a,h'(t)<0 在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0. LOGO 3 探究新知 追问1：如图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ 问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？ 函数f(x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小. 函数f(x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大. LOGO 4 探究新知 追问2：y=f(x)在这些点的导数值是多少? 问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？ f ′(a)=0 f ′(b)=0 LOGO 5 探究新知 追问3：在这些点附近， y=f(x)的导数的正负性有什么规律? 问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？ 在x=a附近 左侧f ′(x)<0, 右侧f ′(x)>0 在x=b附近 左侧f ′(x)>0, 右侧f ′(x)<0 LOGO 6 探究新知 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； b叫做函数y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数y=f(x)的极大值； 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum). 1.极值点与极值的定义： LOGO 7 探究新知 问题3 极大值一定大于极小值吗？ 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值． 极小值 极大值 O a x1 x2 x3 x4 b x y y=f(x) LOGO 8 探究新知 问题4 若 f ′(x0)=0 ，则 x0是否为极值点? x y O y＝x3 解：函数f(x)= x3， f ′(x)=3x2 当x=0时， f ′(0)=0 当x≠0时， f ′(x)>0 又因为函数 f(x)= x3是增函数 所以0不是函数 f(x)= x3的极值点. 追问：x=0 是否为函数 f(x)= x3 的极值点? LOGO 9 探究新知 问题4 若 f ′(x0)=0 ，则 x0是否为极值点? x0是函数 f(x) 的极值点 f ′(x0)=0 x0是函数 f(x) 的极值点 x0左右两侧导数异号 f ′(x0)=0 结论：f ′(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件. ⇏ LOGO 10 探究新知 x2, x4是函数f (x)的极值点,其中x2是极大值点,x4是极小值点. 追问：函数y=f ′(x)的极大值点和极小值点分别是什么？ x1,x5是函数y=f ′(x)的极大值点, x3,x6是函数y=f ′(x)的极小值点. 问题5 函数y=f ′(x)的图象如图所示,试找出函数f (x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？ LOGO 11 探究新知 1. 极值点与极值的定义： 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, 且在点x=a附近的左侧f′(x)<0 (单减), 右侧f′(x)>0 (单增), f′(a)=0, 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 如图(1). 若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, 且在点x=b附近的左侧f′(x)>0 (单增), 右侧f′(x)<0 (单减), f′(b)=0, 我们