5.3.1函数的单调性1 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

引 入 在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化. 微积分中重要的思想方法——以直代曲 h(t)=-4.9t2+4.8t+11 能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢? 本节我们就来讨论这个问题. 利用导数研究函数的单调性. LOGO 1 5.3.1函数的单调性 第五章 一元函数的导数及其应用 2023/12/9 5.3 导数在研究函数中的应用 高二数学备课组 2 引 入 在必修第一册中， 我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质. 复习巩固：函数单调性的定义 一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，有 (1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数. (2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数. LOGO 3 探究新知 问题1: 判断函数单调性的方法有哪些? ①.定义法： ②.图像法： ③.性质法:增+增→增，减+减→减， －增→减， 复合函数单调性同增异减 LOGO 4 探究新知 t h a O b (1) t h a O b (2) 思考1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象. 观察图象可以发现: (1) 从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增. 相应地，v(t)=h'(t)>0. (2) 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减. 相应地，v(t)=h'(t)<0. 问题2: 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 如何从数学上刻画这种区别? LOGO 5 探究新知 对于高台跳水问题，可以发现： 当t∈(0,a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0,a)上单调递增； 当t∈(a,b)时，h′(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a,b)上单调递减. 在区间(a,b)上， h′(t)>0 在区间(a,b)上， h′(t)<0 在区间(a,b)上， h(t)单调递增 在区间(a,b)上， h(t)单调递减 思考2 我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢? 问题3: 这种情况是否具有一般性呢？ LOGO 6 探究新知 x y O (1) x y O (2) x y O (3) x y O (4) 问题4: 观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系？ LOGO 7 探究新知 x y O (1) x y O y′＝1 x y O (2) x y O y′＝2x 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0 在(0, +∞)上， f (x)单调递增 在(0, +∞)上，f ′ (x)>0 y′＝1 在(-∞, +∞)上，y′ >0 LOGO 8 探究新知 x y O (3) 在(-∞, 0)上， f (x)单调递增 在(-∞, 0)上， f ′ (x)>0 x y O f ′ (x) ＝3x2 在(0, +∞)上， f (x)单调递增 在(0, +∞)上，f ′ (x)>0 LOGO 9 探究新知 x y O (4) x y O 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0 在(0, +∞)上， f (x)单调递减 在(0, +∞)上，f ′ (x)<0 LOGO 10 探究新知 问题5：为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？ 导数f ′(x0) 在区间上， f ′(x)>0 函数y=f (x)的图象在点(x0, f(x0))处切线的斜率 在x=x0处f ′(x0)>0 函数y=f (x)的图象上升，在x=x0附近单调递增 切线“左下右上”上升 在区间上，f (x) 单调递增 f (x0)>0 f (x)在x0附近↗ 切线“左下右上” x y O (x0, f(x0)) (x1, f(x1)) LOGO 11 探究新知 问题5：为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？ 导数f ′(x1) 在区间上， f ′(x)<0 函数