5.3.1 课时1 导数正负与函数的单调性课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 课时1 导数正负与函数的单调性 1 1.理解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数的方法解决相关的单调性问题. 学 习 目 标 复习导入 函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时, (1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是增函数; (2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是减函数; 函数的单调性的定义 y x o a b y x o a b 若 f (x) 在G上是增函数或减函数, 则 f (x) 在G上具有严格的单调性。 单调函数的图像特征 G 称为单调区间 增函数 减函数 我们先来研究前面学习过的高台跳水问题. 情境 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象,图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的图象.a= ,b是函数h(t)的零点. t h a O b (1) t v a O b (2) 问题1 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?如何从数学上刻画这种区别? 新 知 讲 解 观察图象可以发现: (1) 从起跳到最高点, 运动员的重心处于上升状态,离水面的高度h随时间t的增加而增加, 即h(t)单调递增. 相应地,v(t)=h'(t)>0. (2) 从最高点到入水, 运动员的重心处于下降状态,离水面的高度h随时间t的增加而减小, 即h(t)单调递减. 相应地,v(t)=h'(t)<0. t h a O b (1) t v a O b (2) 新 知 讲 解 问题2 我们看到,函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么,我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢? 对于高台跳水问题,可以发现: 当t∈(0, a)时,h′(t)>0,函数h(t)的图象是“上升”的,函数h(t)在(0, a)内单调递增; 当t∈(a, b)时,h'(t)<0,函数h(t)的图象是“下降”的,函数h(t)在(a, b)内单调递减. 追问 这种情况是否具有一般性呢? 在区间(a,b)上, h′(t)>0 在区间(a,b)上, h′(t)<0 在区间(a,b)上, h(t)单调递增 在区间(a,b)上, h(t)单调递减 猜测 新 知 讲 解 问题3 观察下面一些函数的图象,你能说明函数的单调性与导数的正负的关系吗? x y O (1) x y O (2) x y O (3) x y O (4) 新 知 讲 解 x y O y=x x y O y′=1 在(-∞, +∞)上, f (x)单调递增 在(-∞, +∞)上,f ′ (x)>0 x y O y=x2 x y O y ′=2x 在(-∞, 0)上, f (x)单调递减 在(-∞, 0)上, f ′ (x)<0 在(0, +∞)上, f (x)单调递增 在(0, +∞)上,f ′ (x)>0 x y O y =x3 x y O y ′ =3x2 在(-∞, 0)上, f (x)单调递增 在(-∞, 0)上, f ′ (x)>0 在(0, +∞)上, f (x)单调递增 在(0, +∞)上,f ′ (x)>0 x y O x y O 在(-∞, 0)上, f (x)单调递减 在(-∞, 0)上, f ′ (x)<0 在(0, +∞)上, f (x)单调递减 在(0, +∞)上,f ′ (x)<0 追问 能否从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调性的关系? x y O (x0, f(x0)) (x1, f(x1)) 如图示,导数f '(x0)表示函数y=f (x)的图象在点(x0, f (x0))处的切线的斜率,可以发现: 在x=x0处 f ′(x0)>0 函数y=f (x)的图象上升,在x=x0附近单调递增 切线“左下右上”上升 在x=x1处 f ′(x1)<0 函数y=f (x)的图象下降,在x=x1附近单调递减 切线“左上右下”下降 新 知 讲 解 函数的单调性与导数的关系 一般地,函数f(x)的单调性与导函数f '(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果f ′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f '(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. 追问1 如果在某个区间上恒有f ′(x)=0,那么函数f(x)有什么特性? 函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. 追问2 存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0, 则f(x)有什么特性? f(x)仍为增函数. 例如: 对于函数y=x3,y′=3x2. 当x=0时,y′=0,当x>0时,y′>0, 而函数y=x3在R上单调递增. x y O 新 知 讲 解 例1 利用导数判断下列函数的单调性: 解: x y O (1) (1)因为 ,其定义域为R . 所以 所以 在R上单调递增,如图(1)所示. (2)因为 ,所以 所以,函数 在 单调递减,如右图所示. x y O (2) - 例1 利用导数判断下列函数的单调性: (2)因为 ,所以 所以,函数 在 单调递减,如右图所示. x y O (2) - 例1 利用导数判断下列函数的单调性: x y O (3) 1 1 例1 利用导数判断下列函数的单调性: ① 求出函数的定义域; ② 求出函数的导数f (x); ③ 判定导数f (x)的符号; ④ 确定函数f(x)的单调性. 判定函数单调性的步骤: 【方法归纳】 1. 判断下列函数的单调性: 解: 当 堂 小 测 (2)因为f(x)=ex-x ,其定义域为R. 所以f ′(x)=ex-1. 令f ′(x)= 0,得x=0 所以当x∈(-∞,0)时, f ′(x)<0 当x∈(0,+∞)时, f ′(x)>0 . 所以,函数f(x)=ex-x在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 1. 判断下列函数的单调性: 当 堂 小 测 解: 当 堂 小 测 例2 已知导函数的下列信息: 试画出函数f (x)图象的大致形状. 在此区间递增 在此区间递减 在此两处附近几乎没有升降变化,切线平行于x轴 解:当1 < x < 4 时, 可知 在区间(1,4)内单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, 可知f (x)在区间(-∞,1)和(4,+∞)区间内单调递减; 分析: 新 知 讲 解 例2 已知导函数的下列信息: 试画出函数f (x)图象的大致形状. x y O 1 4 在此区间递增 在此区间递减 在此两处附近几乎没有升降变化,切线平行于x轴 当 x=1 , 或 x = 4时, 临界点 综上, 函数 f (x) 图象的大致形状如右图所示. 分析: x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 2 1 (A) (B) (C) (D) C 3.设 是函数 的导函数, 的图象如右图所示,则 的图象最有可能的是( ) 当 堂 小 测 解: x y O a b c x y O a b c 4. 讨论1 由导数的正负来判断函数的单调性,与我们之前学习的函数单调性定义是否一致? 由函数单调性的定义,你能用平均变化率来表示函数的单调性吗? (1)∀x 1、x 2 ∈I,都有 ,那么 f (x)在区间I上单调递增 (2)∀x 1、x 2 ∈I,都有 ,那么 f (x)在区间I上单调递减 【知识提升】 讨论2 对于在区间(a,b)上的单调函数 y = f (x) ,其平均变化率的几何意义与 f '(x)的正负有什么关系? a b x o y A B ∀x 1、x 2 ∈(a,b),经过点A(x1,f (x1)),B(x2,f (x2))的直线AB的斜率就是平均变化率 设函数 f (x)在区间(a,b)上的导数f '(x)为正 直观上,能找到一点T(x0,f (x0)),使函数 f (x)的图像在点T处的切线与直线AB平行,即 T 用此方法同样可以说明函数 f (x)在区间(a,b)上单调递减. 结论:利用导数的正负来判断函数的单调性,与函数单调性定义是一致的。 函数 f (x)在区间(a,b)上单调递增 1. 函数单调性与导数符号的关系: 2.判定函数单调性的步骤: 在某个区间(a, b)内 ① 求出函数的定义域; ② 求出函数的导数f (x); ③ 判定导数f (x)的符号; ④ 确定函数f(x)的单调性. 课 堂 总 结 $$