5.2.3 简单复合函数的导数 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.3 简单复合函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 2023/12/9 5.2 导数的计算 高二数学备课组 1 引 入 基本初等函数的导数公式： LOGO 2 引 入 函数的加、减、乘、除的导数运算法则： LOGO 3 探究新知 思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？ 函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无法用现有的方法求它的导数. 若设 ，则y=lnu，从而函数y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和 复合而成的一个复合函数. 把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为 y=f(u)=f(g(x))= ln(2x－1). 思考 函数y=ln(2x－1)有什么结构特点？ y通过中间变量u表示成x的函数. LOGO 4 探究新知 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作：y=f(g(x)). 1.复合函数： 函数y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成. 例如，函数y=ln(2x－1)是由y=lnu和 复合而成. LOGO 5 例题讲解 是 不是 不是 是 不是 是 是 不是 例1.以下函数是由哪些函数复合而成的？ （1）y＝log2(x＋1) （2）y＝(3x+5)3 （3）y＝e－0.05x＋1 y=log2u和u=x+1 y=u3和u=3x+5 y=eu和u=－0.05x+3 LOGO 6 探究新知 问题 如何求复合函数的导数呢? 我们先来研究y=sin2x的导数. LOGO 7 探究新知 2.复合函数的导数法则： 一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积. LOGO 8 例题讲解 例2 求下列函数的导数: 解： LOGO 9 探究新知 1．求复合函数的导数的步骤 2．求复合函数的导数的注意点 (1)分解的函数通常为基本初等函数； (2)求导时分清是对哪个变量求导； (3)计算结果尽量简洁．　 LOGO 10 课堂练习 LOGO 11 课堂练习 LOGO 12 例题讲解 例3 LOGO 13 课堂练习 LOGO 14 课堂练习 √ √ LOGO 15 例题讲解 例4 LOGO 16 课堂练习 √ LOGO 17 课堂练习 1. 求下列函数的导数: 解： LOGO 18 课堂练习 2. 求下列函数在给定点处的导数: 解： 解： LOGO 19 例题讲解 LOGO 20 例题讲解 LOGO 21 例题讲解 例6（1）求y=sin2(2x+π/3)的导数. 法一: 法二: （2）函数y＝xe1－2x的导数y′＝________. LOGO 22 例题讲解 巩固练习. 设函数 f(x) 的导函数是 ，若 ，则 __ 解： 则 ∴ ∴ ∴ ∴ . LOGO 23 课堂小结 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作：y=f(g(x)). 1. 复合函数： 2. 复合函数的导数法则： 一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 LOGO 24 布置作业 （1）教材 （2）同步作业 LOGO 25 THANKS 26 判断下列函数哪些是复合函数 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） (3)函数y＝ln(2x-1)是由函数f(u)＝ln u与u＝2x-1 复合而成的， 复合函数求导法则的综合应用 例5　(1)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________． 解析：(1)设x>0，则－x<0，因为x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，所以f(－x)＝ex－1＋x，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e1－1＋1＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即：2x－y＝0.