5.2.1 基本初等函数的导数 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.1 基本初等函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 2023/12/9 5.2 导数的计算 高二数学备课组 1 引 入 平均变化率 瞬时变化率 x=x0处的导数 割线的斜率 切线的斜率 切线方程 数 形 导函数 数形结合 应用 以直代曲 曲线的变化趋势 逼近 导数的 几何意义 x0 x LOGO 2 引 入 导函数的概念 记法：f ′(x)或y′，即 当x变化时，y=f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数（简称导数）． 由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.求函数y=f(x)的导数，就是求出当∆x→0时，无限趋近的那个定值. ①求平均变化率： ②取极限，得导数： LOGO 3 探究新知 复杂函数 基本初等函数 加、减、乘、除 的导数 的导数 ？ 运算法则 问题1 : 我们今后再遇到求复杂函数的导数问题, 是不是都要按照这三个步骤来完成呢？ 下面我们求几个常用函数的导数. LOGO 4 探究新知 1. 函数y=f(x)=c的导数 即 若y=c (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一 直处于静止状态. 也就是说任意一个常数的导数是0. x y y=c O 问题2 : 如何求函数y=f(x)=c的导数？ LOGO 5 探究新知 即 若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. x y y=x O 2. 函数y=f(x)=x的导数 LOGO 6 探究新知 即 若y=x2表示路程关于时间的函数，则y′=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x. 3. 函数y=f(x)=x2的导数 y′= 2x表示函数y=x2的图象上点(x, y)处切线的斜率为2x . y′= 2x表明: 当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小， y=x2减少得越来越慢； 当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大， y=x2增加得越来越快. x y y=x2 O LOGO 7 探究新知 即 4. 函数y=f(x)=x3的导数 y′= 3x2表示函数y=x3的图象上点(x, y)处切线的斜率为3x2，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. x y y=x3 O LOGO 8 探究新知 即 5. 函数y=f(x)= 的导数 探究 画出函数 的图象，根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1, 1)处的切线方程. x y O LOGO 9 探究新知 即 6. 函数y=f(x)= 的导数 LOGO 10 探究新知 基本初等函数的导数公式： LOGO 11 探究新知 例1 求下列函数的导数: 解： (3) y＝3 x (3) y'＝(3 x)'＝3 x ln3 LOGO 12 课堂练习 1. 求下列函数的导数: 解： 课本P75 LOGO 13 课堂练习 2. 求下列函数在给定点处的导数: 解： LOGO 14 课堂练习 解： LOGO 15 课堂练习 解： LOGO 16 例题讲解 例2 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为 其中p0为t=0时的物价. 假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)? 解： LOGO 17 例题讲解 例3 已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． 变式 求曲线y＝ln x的过点O(0，0)的切线方程． LOGO 18 例题讲解 1. 求曲线在某点处的切线方程： 例4 已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋x. (1)求曲线C在点(1，2)处切线的方程； (2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围． LOGO 19 探究新知 求曲线在某点处的切线方程的步骤 LOGO 20 例题讲解 LOGO 21 例题讲解 LOGO 22 探究新知 求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤 (1)设切点为A(xA，f(xA))，求切线的斜率k＝f′(xA)，写出切线方程(含参数). (2)把点P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而求出切线方程．　 LOGO 23 例题讲解 LOGO 24 课堂练习 解: LOGO 25 课堂练习 √ √ √ LOGO 26 课堂小结 基本初等函数的导数公式： LOGO 27 布置作业 （1）教材 （2）同步作