四川省成都市2024年中考数学一轮复习第12讲 旋转的模型

第12讲 旋转的模型 常考题型： · 旋转的概念：将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角. · 旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. · 旋转的性质：一个图形与它旋转后所得到的图形： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）两组对应点分别与旋转中心连线所成的角度相等. 注：图形在绕着某一个点进行旋转的时候，既可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转. · 旋转作图：在画旋转图形时，首先要确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形. 具体步骤如下： （1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺/逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的对应点. · 旋转中的全等变换（半角模型、对角互补模型、全等模型等）. （1）等腰直角三角形中的半角模型 △ABD≌△ACE′；△ADE≌△AEE′；∠BCE′=90°；. （2）正方形中的半角模型 △ABE≌△ADE′；△AFE≌△AFE′；EF=BE+DF；△CEF周长为正方形边长的两倍即2AB. · 自旋转模型：有一组相邻的线段相等，可以通过构造旋转全等. （1）60º自旋转模型 （2）90º自旋转模型 （3）等腰旋转模型 （4）中点旋转模型（倍长中线模型） · 共旋转模型 （1）等边三角形共顶点旋转模型 （2）正方形共顶点旋转模型 · 旋转相似 · 费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离． 若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点． （1）若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点 证明：如图，在△ABC内有一点P延长BA至C′，使得AC′＝AC，作∠CAP′＝ ∠CAP，并且使得AP′＝AP，连结PP′. 则△APC≌△APC，PC＝PC 因为∠BAC≥120° 所以∠PAP′＝∠CAC′≤60° 所以在等腰△PAP中，AP≥PP′ 所以PA＋PB＋PC≥PP′＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC 所以点A为△ABC的费马点。 （2）若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点． 如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点 证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC 将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO 所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D 则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小 此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O 如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心。 1、 【典例剖析】 1.如图在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（1，2），过点B作BA⊥y轴于点A，连接OB 将△AOB绕点O按顺时针方向旋转45º，得到△A’OB’，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 2.如图，△ABC中，∠ABC＝45º，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连结BD，将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B、D分别与点E、F对应），连结AE，当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC＝4，AH=3CH，则AE的长为 . 3.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝4，D为BC中点，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为 . 4.如图，在中，，点O为内一点，连接AO，BO，CO，且，以点B为旋转中心，将绕点B按顺时针方向旋转60°得到（的对应点分别为），则 ； 。 5.在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90º. （1）如图1，D、E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠D