专题10 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题10 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2． 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆， 则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 模型1-4. 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。 例1.（2023.重庆九年级期末）如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______． 例2．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 例3.（2023.浙江九年级期中）如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值． 例4．（2020·凉山州·中考真题）如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为 ． 例5．（2022·湖北·武汉模拟预测）如图，在矩形ABCD中，动点E、F分别从C、D两点同时出发在边BC、CD上移动（其中一点到达终点时另一点也随之停止），其中点F的运动速度是E的两倍，连接AF和DE交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝4，CD＝2，线段CP的最小值是____________． 例6．（2022·安徽·三模）如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 课后专项训练 1．（2021·内蒙古·中考真题）如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为________． 2．（2022·湖北·武汉九年级阶段练习）如图，是的直径，，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为__________． 3．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为 ． 4.（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，与交于点O，，，．点P从B点出发沿着方向运动，到达点O停止运动．连接，点B关于直线的对称点为Q．当点Q落在上时，则= ，在运动过程中，点Q到直线的距离的最大值为 ． 5．（2022·江苏无锡·校考二模）已知在矩形中，，，O为矩形的中心；在中，，，．将绕点A按顺时针方向旋转一周，则边上的高为 ．连接，取中点M，连接，写出的取值范围 ．    6．（2023·安徽黄山·校考一模）如图，在矩形中，，，是边上一点，将沿直线折