专题15 等腰三角形（讲+练，9大知识点）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪科版）

专题15 等腰三角形 ★知识点1：等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 典例分析 【例1】（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期中）等腰三角形的周长是，其中一边长为，其它两边长分别为（    ） A．， B．， C．，或 D．无法确定 【例2】（2023春·云南昭通·八年级校联考期末）已知一个等腰三角形一边长为6，周长为20，则另两边长分别为（   ） A．6，8 B．7，7 C．6，8或7，7 D．以上都不对 【即学即练】 1．（2023春·山东聊城·七年级统考期末）等腰三角形的周长为，如果它的一边长为，那么其他两边长为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023春·山西运城·八年级统考期末）如图，在折线段中，可绕点旋转，，，线段上有一动点，将线段分成两部分，旋转，，当三条线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长为（    ）    A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4 ★知识点2：等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． （2）等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． （3）等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 1在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.利用等腰三角形的性质，角的平分线的性质、三角形内角和定理，灵活运用相关性质是解题的关键． 2 利用等腰三角形的性质求线段长有时利用面积公式、线段的垂直平分线等知识来解题. 3 等腰三角形中的多结论判断问题主要是利用角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 4 解决等腰三角形的分类讨论问题时，主要从边，分为腰和底来讨论；角：分为顶角和底角来讨论；一腰上的高问题：要分锐角和钝角三角形来讨论； 5在讨论的时候有时利用等腰三角形的性质和判定时需要用到方程的思想和三角形的内角和定理来解决. 典例分析 【例1】（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连结，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知，​若，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 即学即练 1．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点为内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于，交于，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． ★知识点3： 三线合一 典例分析 【例1】（2023春·辽宁丹东·七年级统考期末）如图，在中，，是的一条角平分线，点E，F分别是线段，上的动点，若，，那么线段的最小值是（    ）    A． B．5 C．4 D．6 【例2】（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为多少？（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 即学即练 1.（2022秋·福建厦门·八年级厦门一中校考期末）如图，在中，，，如果D是的中点，，垂足是E，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，在中，，为的平分线，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 ★知识点4 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边” （1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分； （2） 判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。 在等腰三角形的有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边