第12讲 圆-2024年中考数学一轮复习精讲与精练（全国通用）

2024中考数学一轮复习 (全国通用版) 2024中考数学精讲与精练（全国通用版） 第十二讲 圆 考点1：圆的基本概念 1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． 2.弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦． 3.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧． 4.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 5.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角． 6.弦心距：圆心到弦的距离． 考点2：圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 易错提醒：圆心角、弧和弦之间的关系必须在同圆或等圆中才成立． 考点3：圆周角定理及其推论 1.文字语言：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等． 图形语言： 符号语言： 简记为： 2．推论： （1）直径所对的圆周角是直角． 图形语言： 符号语言： （2）圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于内对角． 图形语言： 符号语言： 考点4：垂径定理（*某些城市不考可略去） 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 方法点拨： 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 2．垂径定理推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 考点5：点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d． (1)d<r⇔点在⊙O内； (2)d=r⇔点在⊙O上； (3)d>r⇔点在⊙O外． 考点6：直线和圆的位置关系 具体内容见下表 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d>r d=r d<r 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况． 考点7：切线的性质与判定 1．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点； （2）切线到圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于经过切点的半径． 方法点拨： 利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题． 2．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）． （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 图形语言： 符号语言： 方法点拨：切线判定常用的证明方法： 1 知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； 2 不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 考点8：三角形与圆的关系 1．三角形的外接圆相关概念 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等． 2．三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等． 考点9：正多边形与圆的关系 正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径． 正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角． 正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 方法点拨： 有关正多边形的计算问题，通常都要构造以正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的半个边围城的直角三角形借助勾股定理和三角函数来解决。 考点9：与圆有关的计算公式 1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长=；扇形的面积==． 2．圆锥与侧面展开图 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长． (2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr， 圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr(l+r)． 方法点拨： 在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解． 圆虽然不是直线形图形，但圆的问题解决除了借助圆自身的性质之外，更多的还得借助三角形，四边形的知识。中考中关于圆的知识的考查题型基本上都是将圆与三角形和四边形融合在一起出题，综合性更强，难度中等偏上，除了考查基本概念的除外。 例题1．1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　）   A． B． C．