专题2-4 瓜豆轨最值模型：为什么我们喜欢手拉手（直线与曲线）-备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

专题2-4 瓜豆轨最值模型：为什么我们喜欢手拉手（直线与曲线） 【例题1】三种处理策略 【例题2】饮马类瓜豆与加权线段和问题 【瓜豆圆介绍】 题型一 轨迹为直线型·构造中位线求 2023·广东深圳·统考三模 题型二 轨迹为直线型·构造手拉手 经典例题·宿迁中考 2023·黑龙江绥化·中考真题 2023·湖北黄冈·统考中考真题 2023·西安市交通大学附属中学初三月考 题型三 轨迹为直线型·将军饮马加权线段和问题 题型四 轨迹为圆弧型·构造中位线 2023·山东泰安·中考真题 题型五 轨迹为圆弧型·构造手拉手 2023·四川宜宾·统考中考真题 2022沈阳中考 2022·盐城市一模 2023·深圳外国语学校中考模拟 题型六 路径相关问题 2022·山东滨州·统考中考真题 2023·海南·统考中考真题 题型七 当线段最小值时求其它量 2022·广东广州·中考真题 2023·四川·广元中考真题 初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚 一、我们先来解释一下瓜豆原理：定角定比，主从联动 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同． 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 【例题1】三种处理策略 如图，D、E是边长为4的等边三角形ABC上的中点，P为中线AD上的动点，把线段PC绕C点逆时针旋转60°，得到P’，EP’的最小值 【分析】 结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型 第一层：点P’运动的轨迹是直线吗？ 答：是直线，可以通过P在A，D时，即始末位置时P’对应的位置得到直线轨迹，对于选填题，可找出从动点的始末位置，从而快速定位轨迹，若要说理则需要构造手拉手证明. 第二层：点P’的运动长度和点P的运动长度相同吗？ 答：因为点P’与点P到定点C的距离相等，则有运动路径长度相等，若要说理则同样需要构造手拉手结构，通过全等证明. 第三层：手拉手模型怎么构造？ 答：以旋转中心C为顶点进行构造，其实只要再找一组对应的主从点即可，简单来说就是从P点的轨迹即线段AD中再找一个点进行与P点类似的的旋转，比如把线段AD中的点A绕C点逆时针旋转60°，即为点B，连接BP’即可得到一组手拉手模型，虽然前面说是任意点，但一般来说我们选择一个特殊位置的点进行旋转后的点位置也是比较容易确定的，比如说点D进行旋转也是比较方便． 第四层：分析∠CAP和∠CBP’ 答：由全等可知∠CAP＝∠CBP’，因为B为定点，所以得到P’轨迹为直线BP’ 第五层：点P和点P’轨迹的夹角和旋转角的关系 答：不难得出本题主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角，要注意的是如果旋转角是钝角，那么主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角的补角，这个在后面的例题中会出现. 大气层：前面提到，如果是选填题，可以通过找从动点的始末位置快速定位轨迹线段，或者通过构造手拉手，通过全等或相似得出相等角然后得出轨迹，这两种方法都是先找出从动点P’的轨迹，再作垂线段并求出垂线段的长得到最小值，那么还有其他方法吗？ 答：还可以对关键点进行旋转来构造手拉手模型，从而代换所求线段，构造如下． 将点EC绕点C顺时针旋转60°，构造手拉手模型(SAS全等型)，从而得到P’E＝PG，最小值即为点G到AD的距离． 要注意的是因为要代换P’E，所以E点的旋转方式应该是从P’P，所以是顺时针旋转，求轨迹时的旋转方式则是PP’，注意区分. 解析 策略一：找从动点轨迹 连接BP’， 由旋转可得，CP＝CP’，∠P’CP＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACB＝∠PCP’， ∴△ACP≌△BCP’(SAS)， ∴∠CBP’＝∠CAP， ∵边长为4的等边三角形ABC中，P是对称轴AD上的一个动点， ∴∠CAP＝30°，BD＝2， ∴∠CBP’＝30°， 即点P’的运动轨迹为直线BP’， ∴当D P’⊥B P’时，EP’最短， 此时，EP’＝+ED＝+2＝3 ∴EP’的最小值是3 策略二：反向旋转关键点构造手拉手代换所求线段 将点E绕C点顺时针旋转60°得到点G，连接PG，CG，EP’ 由旋转可得EC＝ CG， CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∠ECG＝60°， ∴△ECG是等边三角形，EG＝2 ∵∠PCP’＝∠ECG ∴∠PCG＝∠E