数列求和的常用方法课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列求和的常用方法 第四章 数列 2023/12/9 专题1: 高二数学备课组 1 (1)S10= 例题讲解 例10 如图,正方形ABCD的边长为5cm,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形IJKL,依此方法一直继续下去. (1)求从正方形ABCD开始,连续10个正方形的面积之和; 解:设正方形ABCD的面积为a1,后继正方形的面积依次为a2,a3, an, .则a1=25. 因此,{an}是以25为首项,为公比的等比数列. 设{an}的前n项和为Sn. ∴前10个正方形的面积之和为cm2 由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点,∴ak+1= ak . LOGO 2 例题讲解 (2)如果这个作图过程可以一直继续下去,那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 解:(2)当n无限增大时,Sn无限趋近于所有正方形的面积和 .而 随着n的无限增大,将趋近于0,将趋近于50. 所以,所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 极限思想 LOGO 3 引 入 3.特殊数列的前n项和 2.等比数列前n项和公式 (错位相减法) 1.等差数列前n项和公式 (倒序相加法) ②1+3+5+…+(2n-1)=n2. 2+4+6+…+2n=n2+n=n(n+1) 正整数和 正奇数、 偶数和 二次幂和 三次幂和 LOGO 4 例题讲解 例1 求下列数列的前n项和 1.公式法 LOGO 5 例题讲解 例2 求数列1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,…的前n项和. 这些奇数组成等差数列,首项为1,公差为2,故该数列的前n项和 LOGO 6 例题讲解 例3 已知an=n+2n-1,求数列{an}的前n项和Sn. 2.分组求和法 LOGO 7 例题讲解 例4 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上. (1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列? (2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn. LOGO 8 例题讲解 例4 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上. (1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列? 解:因为点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,所以an+1=3Sn+1, 当n≥2时,an=3Sn-1+1. 于是an+1-an=3(Sn-Sn-1) an+1-an=3an an+1=4an. 又当n=1时,a2=3S1+1 a2=3a1+1=3t+1, 所以当t=1时,a2=4a1,此时,数列{an}是等比数列. (2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn. LOGO 9 例题讲解 例4 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上. (2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn. 解:由(1),可得an=4n-1,an+1=4n, 所以bn=log4an+1=n,cn=4n-1+n, 那么Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n) =(40+41+…+4n-1)+(1+2+…+n) LOGO 10 探究新知 (1)一般情况下形如cn=an bn ; 2.分组求和法 (2)数列{an}与{bn}是等差数列, 或等比数列, 或是其他已知求和方法的数列; (3)求数列{cn}的前n项和,分别利用已知的求和方法; 如等差数列和等比数列前n项和公式求和即可. LOGO 11 例题讲解 例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨,其中14万吨垃圾以填埋方式处理,6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%,同时,通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算,请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨). 解:设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列,每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列,年内通过填埋方式处理的垃圾总量为(单位:万吨),则 分组求和 当时,. 所以,从今年起5年内,通过填埋方式处理的垃圾总量约为万吨. LOGO 12 例题讲解 例5 已知数列an=(-1)nn,求数列{an}的前n项和Sn. 解法一 若n是偶数, 则Sn=(-1+2)+(-3+4)+(-5+6)+…+[-(n-1)+n]= . 解法二 可采用分组求和(略). 3.并项求和法 LOGO 13 探究新知 3.并项求和法 适用于通项