4.2.1等差数列的性质及其应用课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的性质及其应用 第四章 数列 2023/12/9 4.2 等差数列 高二数学备课组 1 引 入 1.等差数列的定义： 2. 通项公式： {an}为等差数列  5. 等差数列的判断 an+1- an=d  an=p n + q (p、q是常数)  an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*) an =a1+(n-1)d 由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项. 3.等差中项： 这三个数满足关系式： A= 4.等差数列的函数特征 函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列. LOGO 2 探究新知 性质1：an-am =(n-m) d d=an-am /(n-m) an =am+(n-m) d －7 练习: 1.等差数列{an}中, a2=－5, a6= a3 +6,则a1 =_______ 3.若x≠y，且两个数列和各成等差数列，求 . 2.等差数列{an},若a12=23，a42=143， an=263，求n. LOGO 3 探究新知 问题1 观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？ 问题2 观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么固定的结论吗？ LOGO 4 探究新知 例1 已知数列{an} 是等差数列，p, q, s, t∈N*, 且p+q=s+t，求证: ap+aq= as +at . 性质2：等差数列{an} ，若p, q, s, t∈N*, 且p+q=s+t，则 ap+aq= as +at . 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m, n, p∈N*). LOGO 5 探究新知 问题3 例5是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 性质2：等差数列{an} ，若p, q, s, t∈N*, 且p+q=s+t，则 ap+aq= as +at . 问题4 2+3=5，a2+a3=a5 成立吗？ 不成立 【注】等式两边作和的项数必须一样多！ n an O ‧ ‧ ‧ ‧ s p q t as ap aq at S(s,as) P(p,ap) Q(q,aq) T(t,at) LOGO 6 探究新知 例2 在等差数列{an}中，a6＝19 ,a15=46，求a4+a17的值． 练习.在等差数列{an}中， (1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20 (2)已知 a3+a11=10，求：a6+a7+a8 (3)已知 a2+a14=10，能求出a16吗？ (4)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d. 解： a4+ a17 = a6+ a15 = 19+46=65 10 15 d= _2 a14= _3 d= 2 a14= 31 或 不能 LOGO 7 探究新知 例3 已知 a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，求a3+a6+a9的值. 法1： 法2： 设此数列的公差为d,根据题意得： ∵ ∵ LOGO 8 探究新知 例4 已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝30，求a3－2a5的值. 解: 由等差数列的性质可得：a4＋a10 = 2a7 , ∵ a4＋a7＋a10 = 30 = 3a7 即a7 =10, ∴a3－2a5 = a3－(a3+a7) =－a7 = －10. LOGO 9 例题讲解 解: 等差数列{an}中，a2+a10=a4+a8=2a6 又∵a2+a4+a6+a8+a10= 80 , ∴ 5a6=80 , ∴a6=16 , 或：又∵ a6+a8=2a7 8 分析： 等差数列{an}中， 若 m+n=p+q， 则 am+an=ap+aq 例5 LOGO 10 探究新知 例6 已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项 ? 若是, 它是{an}的第几项 ? 若不是, 请说明理由. LOGO 11 探究新知 例6 已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{