4.2.1 等差数列的性质及其应用 课件——2023-2024学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的性质及其应用 第四章 数列 2023/12/9 4.2 等差数列 高二数学备课组 1 复习引入 1.等差数列的定义 2.等差中项的定义 如果在a与b中间插入一个数A，使a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. 3.等差数列的通项公式 2A=a+b 4.等差数列的函数特征 函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列. LOGO 2 新知探究 探究1 等差数列的性质 问题1 观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？ 问题2 观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么固定的结论吗？ LOGO 3 新知探究 证明： 反例： 常数列 LOGO 4 新知生成 等差数列一些常见的性质 （1）通项公式的推广公式： ． （2）若 为等差数列，且 ，则 ． (3)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和， 即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. LOGO 5 （4）在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列. 即：若 是等差数列，公差为 ，则 ， ， ， 是公差为 的等差数列． 若下标成等差数列，则对应的项成等差数列. (5)若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列, 则 ①数列{c＋an}的公差为 ；②数列{c·an}的公差为 ； ③数列{an＋an＋k}的公差为 ；④数列{pan＋qbn}的公差为 . d cd 2d pd＋qd′ 新知生成 LOGO 6 新知运用 例1 （1）已知等差数列 ， ， ，求 的值； （2）已知等差数列 ， ，求 的值； （3）已知数列 ， 都是等差数列，且 ， ， ，求 的值． LOGO 7 [解析] （1）（法一）设 的公差为 ，则 解得 故 . （法二）因为 ，所以在等差数列 中有 ，从而 . （法三）因为5, , 成等差数列，所以 ， ， 也成等差数列，因此 ，即 ，解得 . （2）由等差数列的性质，得 ，所以 ，解得 ，故 . （3）令 ，因为 ， 都是等差数列，所以 也是等差数列．设数列 的公差为 ，由已知得 ，由 ，得 ，解得 ，故 . LOGO 8 思考：若数列 <m></m> 是等差数列，首项为 <m></m> ，公差为 <m></m> ，在 <m></m> 中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？ 例4 新知运用 LOGO 9 解: 解1: 解2: LOGO 10 问题2：如果四个数成等差数列，那么如何设这四个数更方便运算？ 探究2 等差数列的综合问题 问题1：对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法： （1）设这三个数分别为 ， ， . （2）设该数列的首项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , . （3）设该数列的中间项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , . 那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？ [答案] 方法（3）可能更便捷一些． 新知探究 LOGO 11 新知生成 对称项设法 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式. (2)当已知数列有 项时，可设为 ， ， ， ， ， ， ， ，此时公差为 . (3)当已知数列有 项时，可设为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，此时公差为 . LOGO 12 新知运用 例2 已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数． LOGO 13 （法三）设这四个数分别为 ， ， ， ，根据题意， 得 化简得 解得 ∴这四个数分别为2, , , 或 , , , . LOGO 14 方法总结 等差数列项的常见设法： （1）通项法. （2）对称项设法.对称项设法的优点是：若有 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为 . LOGO 15 巩固训练 例2 (1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数；(2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数． LOGO 16 探究3