精品解析：上海市东华大学附属奉贤致远中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

东华致远2023学年第一学期期中教学评估 高二数学 考试时间：120分钟 满分150分 一、填空题（本大题共12小题，第1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知球半径是，则球体积为____________. 2. 已知四棱锥的底面积为4，体积为8，则该四棱锥的高为____________ 3. 已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______. 4. 设，若向量与向量平行，则__________. 5. 已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为________. 6. 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为9，则原圆锥的母线长______． 7. 体积为64正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________． 8. 平面的法向量为，，那么直线与平面的关系是_____． 9. 已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程______． 10. 如图，正方的棱长为2，若空间中的动点P满足，若，则二面角的平面角的大小为___________. 11. 如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2，则该几何体的表面积______________． 12. 下图是位于南桥工商银行和大菜场南面的一个正方体雕塑，其六个面镂空刻满了大美奉贤的多个地标.可以将其视为：某正方体的顶点A在平面内，三条棱都在平面的同侧.若顶点B，C，D到平面的距离分别为，，2，则该正方体外接球的表面积为______. 二、选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 下列几何体中，多面体是（ ） A. B. C. D. 14. 关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法： ①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； ②平行于x轴直线的倾斜角为或； ③若直线过点与，则该直线的斜率为． 其中正确说法个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 空间中不共面的三个向量，，可以作为空间向量的一组基底，若，则称在基底下的坐标为，在四面体中，，，．点在上．且，为中点，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 16. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，共76分） 17. 已知直线经过点，斜率为，求直线的点法向式、点斜式和一般式方程． 18. 已知空间中的三点，，，设，. （1）若与互相垂直，求的值； （2）求点到直线的距离. 19. 有很多立体图形都体现了数学对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，设半正多面体的棱长为，将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求正方体的棱长，并写出A，B，C，D，F点的坐标. （2）求. 20. 如图，在空间之间坐标系中，四棱锥的底面在平面上，其中点与坐标原点重合，点在轴上，，，顶点在轴上，且，. （1）求直线与平面所成角的大小； （2）设为的中点，点在上，且，求二面角的正弦值. 21. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面 （3）若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东华致远2023学年第一学期期中教学评估 高二数学 考试时间：120分钟 满分150分 一、填空题（本大题共12小题，第1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知球的半径是，则球体积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积公式直接计算得结果. 【详解】由于球的半径为，故体积为. 【点睛】本小题主要考查球的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题. 2. 已知四棱锥的底面积为4，体积为8，则该四棱锥的高为____________ 【答案】6 【解析】 【分析】根据棱锥的体积公式 ，即可求得答案. 【详解】设该四棱锥的高为h，则， 故答案为：6 3. 已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为