专题10零点问题及函数模型十个重难点归类-2023-2024学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

专题10零点问题及函数模型十个重难点归类 一、函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点． 3．零点存在性定理 如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 4．常用结论 （1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； （2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点； （3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数. 二、二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 三、函数模型 1．常见的函数模型：建立实际应用问题的函数模型除了前面见过的一次函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、分段函数模型,还有常见的以下函数模型： 指数函数模型(且) 对数函数模型： (且)． 2．常见的图象对应的数学模型 （1）相邻两点之间的距离变化越来越大时,如图（1）常选(且)模型． （2）相邻两点之间的距离越来越近似相等,如图（2）,常选 (且)．模型． （3）点的变化趋势先升后降(或先降后升),如图（3）,常选二次函数模型． （4）相邻两点之间等距,如图（4）,常选一次函数模型． 【重难点一 求零点及判断零点所在区间】 例1．若不等式的解集为，则函数的零点为（    ） A．和 B．和 C．2和 D．和 例2．若是方程的实数解，则属于区间（    ） A． B． C． D． 判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 【跟踪练习】 练习1．已知函数的图象在区间上连续不断，则“”是“在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习2．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 练习3．（1）求函数的零点； （2）已知函数的零点为3，求函数的零点． 练习4．若x＝2是f（x）＝x2－mx－3的一个零点，则实数m的值为 ． 【重难点二 求零点的个数】 例3．函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例4．函数的零点个数是 . 判断函数零点个数的方法： ①图象法：结合函数图象进行判断，即转化为两函数图象的交点个数问题． ②单调性法：借助函数的单调性进行判断．若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间上单调,满足,则函数在区间上有且仅有一个零点, 【跟踪练习】 练习1．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习2．已知函数，，设函数，则下列说法错误的是（    ） A．是偶函数 B．方程有四个实数根 C．在区间上单调递增 D．有最大值，没有最小值 练习3．已知集合，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习4．（多选）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．在上有675个零点 【重难点三 利用二分法求函数的零点或方程的近似解】 例5．设函数，用二分法求方程在内的近似解的过程中，计算得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 例6．函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行（    ）次函数值的计算． A．2 B．3 C．4 D．5 利用二分法求方程近似解（函数零点）的步骤： ①构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常限制在区间. ②利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间. ③区间内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间的一个端点． 【跟踪练习】 练习