九年级数学（沪科版）上册教案+导学案+课后练习：213 二次函数与一元二次方程（3份）

二次函数与一元二次方程 教学目标 1．理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化． 2．会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解． 3．探求利用图象求一元二次方程根的过程，掌握数形结合的思想方法． 教学重难点 探索二次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用． 教学过程 导入新课 出示二次函数的图象，如图所示，根据图象回答： 1．x为何值时，y＝0? 2．你能根据图象，求方程x2－2x－3＝0的根吗？ 3．函数y＝x2－2x－3与方程x2－2x－3＝0之间有何关系呢？ 推进新课 一、合作探究 【问题1】 画出函数y＝x2＋3x＋2的图象，根据图象回答下列问题． (1)图象与x轴交点的坐标是什么？ (2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2＋3x＋2＝0有什么关系？ (3)你能从中得到什么启发？ 教学设计： 1.先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2＋3x＋2的图象． 2．教师巡视，与学生合作、交流． 3．教师讲评，并画出函数图象． 4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－1,0)和(－2,0)． 5．让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评． 6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2＋3x＋2的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2＋3x＋2＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2＋3x＋2的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2＋3x＋2＝0的解．更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系． 【问题2】 画出二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象，并根据图象观察： (1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋2＝0各有几个根？用根的判别式验证一下，你有什么发现？ 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况： ①有两个交点；②有一个交点；③没有交点． 当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的关系： 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac 有两个交点 有两个相异实数根 b2－4ac＞0 有一个交点 有两个相等实数根 b2－4ac＝0 没有交点 没有实数根 b2－4ac＜0 【问题3】 根据问题1的图象回答下列问题： (1)当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0? 当－2＜x＜－1时，y＜0；当x＜－2或x＞－1时，y＞0. (2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？ 能用含有x的不等式来描述(1)中的问题，即x2＋3x＋2＜0的解集是什么？x2＋3x＋2＞0的解集是什么？ 【问题4】 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？ 让学生类比二次函数与一元二次方程的关系，讨论、交流，达成共识： (1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解． (2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系． 【问题5】 利用函数y＝x2－2x－2的图象，求方程x2－2x－2＝0的实数根(精确到0.1)．[来源:学科网] 分析：用描点法画函数y＝x2－2x－2的图象，图象要求尽可能准确(如图)． 方法一：确定抛物线与x轴的两个交点的位置，估计方程x2－2x－2＝0两根的范围． 观察图象，x1≈－0.7时，y的值最接近于0；x2≈2.7时，y的值最接近于0.从而估计方程的根为x1≈－0.7，x2≈2.7. 方法二：观察图