数学读背册-【追梦之旅·期末真题篇】2023-2024学年九年级数学上册（华东师大版 河南专用）

河南专版·HS·九年级数学 第 21 章　 二次根式 考点 1　 二次根式 1.二次根式的概念:形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式. “ 　 ”叫做二次根号,a 叫做被开方 数, a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根. 二次根式 a的双重非负性:(1)a≥0;(2) a≥0(a≥0) . 2.二次根式有意义的条件:被开方数为非负数,即在二次根式中,当 a≥0 时,有意义. 【注意】当二次根式中含有分式,且分母上含有字母时,不仅要使二次根式有意义,同时需要 分母不等于 0. 3.二次根式的性质 性质 文字语言 应用及拓展 ( a) 2 =a(a≥0) 一个非负数的算术平 方根的平方等于这个 数本身 (1)正用公式:如( 2) 2 = 2,( a2 +2) 2 =a2 +2. (2)逆用公式:若 a≥0,则 a = ( a ) 2,如 5 = ( 5 ) 2, 1 3 =( 1 3 ) 2 . a2 = | a | = a(a≥0)-a(a<0){ 任意实数的平方的算 术平方根等于这个数 的绝对值 化简形如 a2 的式子时,先转化为 | a | ,再根据 a 的 符号去掉绝对值符号,如 (π-4) 2 = | π-4 | = 4-π. 说明:( a ) 2 和 a2 的结果都是非负数,且当 a≥0 时,( a ) 2 = a2 . 考点 2　 二次根式的乘除 1.二次根式的乘除法 a· b = ab (a≥0,b≥0)　 　 　 　 ab = a· b (a≥0,b≥0) a b = a b (a≥0,b>0) a b = a b (a≥0,b>0) 2.最简二次根式:化简后的二次根式被开方数中不含分母,并且被开方数中所有因数(或因式) 的幂的指数都小于 2,像这样的二次根式称为最简二次根式. 【注意】最简二次根式必须满足下列两个条件:( 1) 被开方数中不含分母;( 2) 被开方数中 不含能开得尽方的因数或因式. 方法点拨:化最简二次根式的一般方法:(1)将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开 方;(2)化去根号下的分母. 考点 3　 二次根式的加减 1.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式 就叫做同类二次根式. 2.二次根式的加减 加减法则 二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再将同类二次根式合并 步骤 ①如果有括号,根据去括号法则去括号;②把不是最简二次根式的二次根式进行化简; ③合并同类二次根式 运算律 满足加法交换律和结合律 3.二次根式的混合运算 (1)二次根式混合运算的顺序与整式的运算顺序相同,即先乘方,再乘除,最后加减,有括号 的先算括号里面的. 1 追梦之旅·初中期末真题篇 (2)整式的运算律、运算法则在二次根式的混合运算中同样适用. 第 22 章　 一元二次方程 考点 1　 一元二次方程 定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程叫做一元二次方程 一般形式 ax2 +bx+c= 0(a、b、c 是已知数,a≠0),其中 a、b、c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数 项 一元二次 方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 考点 2　 一元二次方程的解法 1.直接开平方法 (1)如果方程可化为一边是未知数(或含有未知数的代数式)的平方,另一边是非负数,这种 形式的方程可依据平方根的定义直接开平方求解,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平 方法. (2)适用类型:①方程缺少一次项,即方程 ax2+c= 0(a≠0);②形如(x+m)2 =n(n≥0)的方程. 2.因式分解法 (1)先将方程左边化为两个一次因式的乘积,右边是 0 的形式,再使这两个一次因式分别等 于 0,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 【注意】当方程两边都含有未知数的相同因式时,不能直接约去,否则方程就漏掉了一个根. (2)适用类型:①常数项为 0,即方程 ax2 +bx = 0(a≠0);②一元二次方程的一边为 0,而另一 边易于分解成两个一次因式的乘积. 3.配方法 (1)通过方程的简单变形,将左边配成一个含有未知数的完全平方式,右边是一个非负常数, 从而可以直接开平方求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. (2)适用类型:①二次项系数化为 1 后,一次项系数是偶数的一元二次方程;②各项的系数比 较小且便于配方. 4.公式法 (1)一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的求根公式是 x = -b± b2 -4ac 2a (b2 -4ac≥0) . 将一元二 次方程中系数 a、b、c 的值,直接代入这个公式,就可以求得方程的根. 这种解一元二次方程的 方法叫做公式法. (2)适用类型:适用于所有一元二次方程,但要注