基础知识抓分练2 一元二次方程的认识及求解-【追梦之旅·期末真题篇】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

河南专版·BS·九年级数学 基础知识抓分练 2　 一元二次方程的认识及求解 一、选择题 1. 若关于 x 的方程(m-1)x2 +mx-1 = 0 是一元 二次方程,则 m 的取值范围是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. m≠1 B. m= 1 C. m>1 D. m≠0 2. (一元二次方程的一般形式)将一元二次方 程 2x2 +x = 3 化成一般形式之后,若二次项 的系数是 2,则一次项系数和常数项分别是 (　 　 ) A. -1,3 B. 1,1 C. 1,-3 D. 1,3 3. 方程 4x2 = 9 的解是(　 　 ) A. x= 3 2 B. x= - 3 2 C. x1 = 1,x2 = 9 4 D. x1 = 3 2 ,x2 = - 3 2 4. (教材 P33 做一做变式)探索一元二次方程 x2 +3x-5 = 0 的一个正数解的过程如表: x -1 0 1 2 3 4 x2 +3x-5 -7 -5 -1 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应介于整数 a 和整数 b 之间,a+b 的值为(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. (重庆)数学兴趣小组四人以接龙的方式用 配方法解一元二次方程,每人负责完成一 个步骤,如图所示,老师看后,发现有一位 同学所负责的步骤是错误的,则这位同学 是(　 　 ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a ≠0)的系数满足 a-3b+9c = 0,则此方程必 有一根为 x= (　 　 ) A. - 1 3 B. 1 3 C. 3 D. 1 7. 【易错题】直线 y = x+a 不经过第二象限,则 关于 x 的方程 ax2 +x+1 = 0 的实数根的个数 是(　 　 ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 1 个或 2 个 8. 【数学文化】(湖北一模)欧几里得的《几何 原本》记载,对于形如 x2 +ax = b2 的方程,可 用如图解法: 作直角三角形 ABC, 其中 ∠ACB= 90°,AC= b,BC= a 2 ,在斜边 AB 上截 取 BD = BC, 则该方程的其中一个正根 是(　 　 ) A. 线段 AD 的长 B. 线段 BC 的长 C. 线段 AC 的长 D. 线段 AB 的长 二、填空题 9. 若 a 是一元二次方程 x2 - 2x- 3 = 0 的一个 根,则-2a2 +4a 的值是　 　 　 　 . 10. 已知关于 x 的方程 x2 +mx+n = 0 的左边可 分解因式为(x+5) ( x-2),则 m、n 的值分 别为　 　 　 　 . 11. 【易错题】若关于 x 的一元二次方程 kx2 + 2x-1 = 0 有两个实数根,则实数 k 的取值 范围是　 　 　 　 . 12. (根的判别式与等腰三角形)已知关于 x 的方程 x2 +(3k-2)x-6k= 0,若等腰三角形 ABC 的一边 a= 6,另两边长 b、c 恰好是这 个方程的两个根,则△ABC 的周长为　 　 　 　 . 13. 【新定义】规定:在实数范围内定义一种运 算“◎”,其规则为 a◎b = a(a+b),方程(x -2)◎7 = 0 的根为　 　 　 　 . 三、解答题 14. 我们已经学习了一元二次方程的四种解 法:①直接开平方法;②配方法;③因式分 解法;④公式法. 请选择合适的方法解下 列方程. (1)(x+5) 2 = 9; 3 追梦之旅·初中期末真题篇 (2)x2 +4x-1 = 0; (3)(x-3) 2 = 3x2 -9x; (4) 1 5 x2 - 3 2 x= -2. 15. 阅读材料,解答问题:为了解方程 x4 -13x2 +36 = 0,如果我们把 x2 看作一个整体,然 后设 y= x2,则原方程可化为 y2 -13y+36 = 0,经过运算,原方程的解为 x1 = 2,x2 = -2, x3 = 3,x4 = -3. 我们把以上这种解决问题的 方法通常叫做换元法. 请类比上述材料求出方程 x4 -5x2 +6 = 0 的 解. 16. (北京)已知关于 x 的一元二次方程 x2 +mx +m-1 = 0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)如果方程只有一个根为正数,求 m 的 取值范围. 17. 如图,点 A 与点 C 表示的数分别为 1 和 3, 宸宸同学在数轴上以 C 为直角顶点作 Rt △ABC,BC = 1,再以点 A 为圆心,AB 为半 径画圆,交数轴于 D、E 两点. 莲莲同学说, 若 D、E 分别表示 m 和 n,我发现 x = m 是 一元二次方程 x2 +bx-4 = 0 的一个根,琮