基础知识抓分练5 等腰三角形与最短路径问题-【追梦之旅·期末真题篇】2023-2024学年八年级数学上册（人教版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇 基础知识抓分练 5　 等腰三角形与最短路径问题 一、选择题 1. 如图,△ABC 中,AB = AC,D 是 BC 中点,下 列结论中不正确的是(　 　 ) A. AB= 2BD B. AD⊥BC C. AD 平分∠BAC D. ∠B= ∠C 2. 嘉嘉和淇淇在证明“有两个角相等的三角 形是等腰三角形” 这一结论时,画出图形, 写出“已知”“求证”(如图所示),然后对各 自所作的辅助线描述如下: 　 已知:如图,在△ABC 中,∠B= ∠C, 　 求证:AB=AC. 嘉嘉:“过点 A 作 BC 的垂直平分线 AD,垂 足为 D”; 淇淇:“作△ABC 的高 AD” 下列判断正确的是(　 　 ) A. 只有嘉嘉正确　 　 　 　 B. 只有淇淇正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 3. 如图,等腰三角形 ABC 中 AB=AC,将△ABC 沿 DE 折叠,使点 B 与点 A 重合,并且 AC = DC,∠BAC 的度数为(　 　 ) A. 120° B. 108° C. 106° D. 100° 4. 在一条沿直线 MN 铺设的电缆同侧有甲、乙 两个小区,现要求在 MN 上选取一点 P,向 两个小区铺设电缆. 四种铺设方案中,使用 电缆材料最少的是(　 　 ) A. B. C. D. 5. 如图,已知∠AOB = 60°,点 P 在边 OA 上, OP= 12,点 M,N 在边 OB 上,PM = PN,若 MN= 2,则 OM 的长为(　 　 ) A. 3　 　 　 B. 4　 　 　 C. 5　 　 　 D. 6 第 5 题图 　 　 　 　 第 6 题图 6. 已知∠AOB = 30°,在∠AOB 内有一定点 P, 点 M,N 分别是 OA,OB 上的动点,若△PMN 周长的最小值为 3,则 OP 的长为(　 　 ) A. 1. 5 B. 3 C. 2 D. 6 7. 如图,在△ABC 中,AB = AC,∠BAC = 124°, 点 D 在 BC 边上,△ABD、△AFD 关于直线 AD 对称,∠FAC 的平分线交 BC 边于点 G, 连接 FG,∠BAD = θ,当 θ 的值等于( 　 　 ) 时,△DFG 是以 DF 为腰的等腰三角形. A. 28° B. 31° C. 62° D. 28°或 31° 二、填空题 8. (台州中考)如图,等边三角形纸片 ABC 的 边长为 6,E,F 是边 BC 上的三等分点. 分别 过点 E,F 沿着平行于 BA,CA 方向各剪一 刀,则剪下的△DEF 的周长是　 　 　 　 . 8 河南专版·RJ·八年级数学上 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. 如图,大小两个量角器的零刻度线在同一 条直线上,点 P 是大量角器上一点,对应的 度数是 130°,若△APB 是等腰三角形,则 PB 与小量角器交点在小量角器上对应的外 圈的度数为　 　 　 　 . 10. 如图,在△ABC 中,AB = AC = 10,BC = 12, AD= 8,AD 是∠BAC 的平分线. 若 P,Q 分 别是 AD 和 AC 上的动点,则 PC+PQ 的最 小值是　 　 　 　 . 第 10 题图 　 　 　 　 第 11 题图 11. 等边△ABC 的边长为 12 cm,点 P、Q 分别是 边 BC、CA 上的动点,点 P、Q 分别从顶点 B、 C 同时出发,且速度都是 3 cm / s,则经过 　 　 　 　 秒后,△PCQ 是直角三角形. 三、解答题 12. 如图,△ABC 中,CD 是角平分线,交 AB 于 点 D,DE∥BC,交 AC 于点 E. (1)求证:DE=CE; (2)若∠AED= 64°,求∠DCB 的度数. 13. 如图 1,在平面直角坐标系中,点 A 为 x 轴 负半轴上一点,B 为 y 轴正半轴上一点, AO= 2,AB= 2OA. (1)作 A 点关于 y 轴的对称点 E,并连接 BE,求证:△ABE 是等边三角形; (2) 如图 2,P 是射线 OA 上任意一点,以 PB 为边向上作等边△PBD,DA 的延 长线交 y 轴于点 Q,求 AQ 的长. 图 1 　 　 　 　 图 2 9 ∴ ∠CAE = 1 2 ∠BAD = 1 2 α. ∵ ∠AEC = 90°,∴ ∠ACB = ∠ACB′= 90°- 1 2 α. 故选 D. 4. B 5. B　 【解析】由题可得经过 6 次反弹后小球回到出发点 P. ∵ 2 023÷6 = 337……1,∴ 当点 P 第 2 023 次碰到长方 形的边时为第 338 个循环组的第 1 次反弹,∴ 第 2 023 次碰到长方形的边时的点为图中的点 Q. 故选 B. 二、填空题