专题05～06 函数的概念、性质及应用-2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

【解析版】 专题05 函数的概念、性质及应用 第5章 函数的概念、性质及应用【课本目录】 5.1 函数：5.1.1 函数；5.1.2 函数的表示方法； 5.2 函数的基本性质：5.2.1 函数的奇偶性；5.2.2 函数的单调性；5.2.3 函数的最值； 5.3 函数的应用：5.3.1 函数关系的建立；5.3.2 用函数观点求解方程与不等式；5.3.3 用二分法求函数的零点； *5.4 反函数：5.4.1 反函数的概念；5.4.2 反函数的图像； 本章内容提要 1. 函数的概念： （1）设集合是一个非空的实数集，对内的任意给定的实数，按照某种法则,都有唯—确定的实数值与之对应，这种对应关系称为集合上的一个函数. （2）定义域和对应法则是函数的两个重要要素.函数的值域由其定义域和对应法则决定.两个函数的定义域和对应法则都相同（未必形式相同）时，两个函数是相同的. （3）函数的图像是表示两数性质的直观有力的工具. 2. 函数的性质： （1）如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个偶函数；如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个奇函数.奇性及偶性分别刻画了函数图像关于原点及 轴的对称性. （2）对于定义在上的函数，设区间是的子集.对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当时，如果总成立,就称函数在区间上是严格增函数；如果总成立,就称函数在区间上是严格减函数.这种单调性刻画了函数图像上升或下降的趋势. （3）设函数在处的函数值是.如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式,那么叫做函数的最小值；如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式，那么叫做函数的最大值. 最大值与最小值分别为函数图像的最高点与最低点的纵坐标. 3. 函数的应用： （1）在建立函数关系时，需要注意其定义域. （2）零点是指函数图像与轴交点的横坐标，对于图像是连续曲线的函数，二分法是求近似零点的有效手段. （3）依靠函数，可以用动态的观点来考察方程的求解，以及不等式的求解. *4. 反函数： （1） 反函数来源于解关于的方程所得到的对应关系. （2） 如果函数在定义域上不同的处所取到的函数值也不相同，那么就有反函数.在定义域上严格单调的函数必存在反函数. （3）函数的图像与其反函数的图像关于直线轴对称。 题型1、对函数概念的理解 例1、（1）设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 （2）判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数． ①A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±； ②A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|； ③A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→； ④A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4； ⑤A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0. 【说明】1、判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应． 2、函数的定义中“每一个元素x”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”； 3、根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数； 题型2、解答函数问题起点是定义域 例2、求下列函数的定义域． （1）f(x)＝； （2） f(x)＝＋； （3）f(x)＝＋x0＋； （4）f(x)＝. （5）f(x)＝＋； （6）f(x)＝＋且 x∈Z. 【说明】求函数的定义域应关注四点 1、要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. 2、不对解析式化简变形，以免定义域变化． 3、当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合； 题型3、求函数的值域或函数值 例3、（1）已知f(x)＝x2－4x＋2. ①求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；②求f(x)的值域；③若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值； 【说明】1、函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得； 2、求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则； 3、配方法是一种常用的求值域的方法，