第07讲 拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第07讲 拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根） 一、知识点归纳 1、函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 二、题型精讲 题型01判断、证明或讨论函数零点（方程的根）的个数 1．（2022上·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)设，求在区间上的最值； (2)讨论的零点个数. 2．（2022下·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数，讨论函数的零点的个数. 3．（2022下·山东聊城·高二统考期末）已知函数，在处切线的斜率为-2. （1）求的值及的极小值； （2）讨论方程的实数解的个数. 4．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）已知． (1)当时，求在上的单调性； (2)若，令，讨论方程的解的个数． 5．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）函数． (1)若为奇函数，求实数的值； (2)已知仅有两个零点，证明：函数仅有一个零点． 题型02利用最值（极值）研究函数零点（方程的根）问题 1．（2023上·北京·高三北京四中校考期中）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 2．（2023上·福建福州·高三校联考期中）已知函数（）. (1)求在上的最大值； (2)若函数恰有三个零点，求a的取值范围. 3．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在上存2个零点，求的取值范围. 4．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数. (1)若函数在上单调递增，求的最小值； (2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围． 5．（2023下·辽宁·高二校联考期末）已知函数，，其中，若. (1)当时，求的单调区间； (2)曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 6．（2023下·广东东莞·高二统考期末）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若是的极值点，且方程有3个不同的实数解，求实数的取值范围． 题型03利用数形结合法研究函数的零点（方程的根）问题 1．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数. (1)若函数在上单调递增，求的最小值； (2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围． 2．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）已知． (1)当时，求在上的单调性； (2)若，令，讨论方程的解的个数． 3．（2023下·湖南衡阳·高二校考阶段练习）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若方程有三个根，求的取值范围．   4．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）已知函数. (1)求的极值： (2)若有两个零点，求a的取值范围. 5．（2023上·北京·高三北京二十中校考阶段练习）已知函数，函数， (1)已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值； (2)若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围. 6．（2023·四川·校联考一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)令（a为常数），若有两个零点，求实数a的取值范围. 题型04构造函数研究函数零点（方程的根）问题 1．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)若关于的方程有两个实数根，求实数的取值范围． 2．（2023上·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的零点个数； (2)已知函数，当时，关于的方程有两个实根，求证：.（注：是自然对数的底数） 3．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知. (1)当时，求函数的极值； (2)当时，设.若函数在上有两个不同的零点，求的取值范围. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根） 一、知识点归纳 1、函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 二、题型精讲 题型01判断、证明或讨论函数零点（方程的根）的个数 1．（2022上·江苏·高三校联考阶段