第06讲 拓展二：利用导数研究不等式能成立（有解）问题-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第06讲 拓展二：利用导数研究不等式能成立（有解）问题 一、知识点归纳 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 4、最值定位法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 5、值域法解决双参等式问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 二、题型精讲 方法一：分离变量法 1．（2022下·江西·高二期末）已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值． （1）求函数； （2）存在，使得成立，求实数的取值范围． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得成立，求实数m的最小值. 3．（2023上·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知函数，. (1)当时，讨论在区间上的单调性； (2)若存在，使不等式成立，求的取值范围. 4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为实常数）．若存在，使得成立，求实数的取值范围． 方法二：分类讨论法 1．（2023下·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考期中）已知 (1)若在处取到极值，求的值； (2)若存在使得，求的范围； (3)直接写出零点的个数，结论不要求证明. 2．（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）已知函数，其中是自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 3．（2022上·福建福州·高二校联考期末）已知函数 (1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程； (2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围． 4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数． （1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）若在区间，内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围． 方法三：等价转化法 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在上存在一点，使得成立，求的取值范围. 2．（2023上·北京·高三北京五十五中校考阶段练习）已知函数，． (1)若在点处的切线为，求实数的值； (2)设函数，求函数的单调区间与极值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围． 3．（2023·上海静安·统考一模）已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R. (1)若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值； (2)当a >0时，求函数g(x)的单调区间； (3)若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围． 4．（2022下·北京·高二北师大二附中校考阶段练习）设函数，其中是自然对数的底数. (1)当时，求函数的极值. (2)若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围. (3)设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围. 方法四：最值定位法解决双参不等式问题 1．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围． 2．（2023上·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知函数，，其中是自然对数的底数． (1)求函数的极值； (2)对，总存在，使成立，求实数的取值范围． 3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，，，若，，使成立，求实数m的取值范围． 4．（2023·全国·高三专题练习）设函数，． (1)若曲线在处的切线过点，求的值； (2)设若对，，使得成立，求的取值范围． 5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围． 方法五：值域法解决双参等式问题 1．（2023上·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）已知函数（其中且）是奇函数． (1)求，的值并判断函数的单调性； (2)已知二次函数满足，且其最小值为．若对，都，使得成立，求实数的取值范围． 2．（2022上·浙江·高二校联考期中）函数，. (1)当时，总有成立，求实数的取值范围； (2)若，对，，使得，求实数的取值范围.