第05讲 拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第05讲 拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题 一、知识点归纳 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 二、题型精讲 方法一：分离变量法 1．（2023上·北京通州·高三统考期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2．（2023下·山东淄博·高二校考阶段练习）（1）已知对于恒成立，求实数的取值范围； （2）已知函数，若不等式在R上恒成立，试求a的取值范围. 3．（2023下·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数． (1)当时，求的极值； (2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围． 4．（2023上·广东佛山·高三统考阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 5．（2023上·广东梅州·高三校考阶段练习）已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值． (1)求函数的单调区间和极大值； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； 方法二：分类讨论法 1．（2023·高二校考课时练习）已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 . 2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若当时，求的取值范围． 3．（2023·全国·高三专题练习）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的值． 4．（2021上·广东深圳·高三深圳市福田区福田中学校考阶段练习）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的，都有成立，求的取值范围． 方法三：等价转化法 1．（2023下·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期中）已知函数，（其中）． (1)若，求函数的单调区间； (2)若对于任意，都有成立，求的取值范围． 2．（2022下·福建泉州·高二福建省泉州市培元中学校考期中）已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 3．（2023上·北京丰台·高三统考期中）已知函数，． (1)当时，求函数的最大值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的值． 4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，． (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围． 5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（其中为常数，为自然对数底数）.若恒成立，求的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题 一、知识点归纳 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 二、题型精讲 方法一：分离变量法 1．（2023上·北京通州·高三统考期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 (3) 【详解】（1）由得，又， 所以在切线为 （2）令，则，故在单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取极小值，无极大值， （3）由得， 故， 构造函数则，令，则， 故当时，，单调递增，时，单调递减， 故当取极小值也是最小值，， 所以，即 2．（2023下·山东淄博·高二校考阶段练习）（1）已知对于恒成立，求实数的取值范围； （2）已知函数，若不等式在R上恒成立，试求a的取值范围. 【答案】（1