第二十七章 相似模型专题专练-【专题突破】2023-2024学年九年级数学下册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

第二十七章 相似模型专题讲练 模型1 A字型相似和X字型相似 模型2 作平行线构造相似 模型3 双垂直型相似 模型4 手拉手型相似 模型5 一线三等角型相似 模型1 A字型相似和X字型相似 ☆A字型基础模型： A字型（平行） 反A字型（不平行） ☆X字型基础模型： X字型（平行） 反X字型（不平行） A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 例题1 如图，在中，点D，E分别在，上，若，，且，则的长为（　　）    A．5 B．10 C．15 D．20 例题2 如图，，，已知，，那么等于（　　） A． B． C． D． 例题3 如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点运动的速度为秒，点运动的速度为秒，如果两点同时开始运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ）    A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 例题4 如图，点，，分别在的边上，，，，点是的中点，连接并延长交于点，的值是（    ）． A． B． C． D． 例题5 如图，已知，若，，的面积是4，则的面积为 ． 例题6 如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为 . 例题7 如图，，点H在上，与交于点G，，则长为 ．    例题8 如图，在四边形中，平分，，在延长线上取一点B，连接，与交于点F，与交于点G，此时． (1)求证：四边形为菱形； (2)当，时，求线段的长度． 例题9 已知：如图，在四边形中，对角线交于点，求证：．    例题10 如图，，与相交于点，．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 例题11 如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G． (1)求的值． (2)若， ①求证：． ②求证：． 模型2 作平行线构造相似 ☆解决此类问题的关键是作平行线去构造相似三角形从而利用相似三角形的性质去解决问题. 基础模型： 例题12 如图，在中，，，，垂足为D，F为线段上一点，若，则为（      ）    A． B． C．1 D． 例题13 已知：如图，在中，为的中点，为上一点，延长线交延长线于点．若，则 ．    例题14 如图，在中，，，则 ． 例题15 如图，中，D、F为边的三等分点，，连结并延长交于点H，则的值为 .    例题16 如图，在中，E在边上，是的中点，连接并延长交于D，则 ． 例题17 如图，在中，D是的中点，过点C作交BD的延长线于点E，连结．若，，则的长为 ．    例题18 如图，在中，是中点，是线段延长线上的一点，连结并延长交于点． (1)如果，求证：； (2)求的值． 模型3 双垂直型相似 ☆直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD. 例题19 如图，在中，，于，若，，则 ． 例题20 如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　） A． B． C． D． 例题21 如图，AC是矩形ABCD的对角线，过点B作BE⊥AC于点E，BE的延长线交AD于点F，若DF＝EF，BC＝2，则AF的长为　 　． 例题22 如图所示，在中，，是边上高，若，，求． 例题23 如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长． 模型4 手拉手型相似 ☆基础模型： 例题24 如图，与都是等腰直角三角形，，，，连接、． 求证：；    例题25 如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若，且，，求的长． 例题26 【问题背景】 （1）如图1，已知，求证：．    【尝试应用】 （2）如图2，在和中，，，与相交于点，点在边上，． ①填空： ． ②求的值． 【拓展创新】 （3）如图3，是内一点，，，，，直接写出的长． 模型5 一线三等角型相似 ☆基础模型： 如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角） 如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角） 如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE