专题08 数列求通项与求和（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题08 数列求通项与求和（考点清单） 目录 一、思维导图 2 二、知识回归 3 三、典型例题讲与练 5 考点清单：01数列求通项之累加法 5 【考试题型1】累加法求通项 5 考点清单：02数列求通项之累乘法 6 【考试题型1】累乘法求通项 6 考点清单：03数列求通项之法 6 【考试题型1】已知与的关系；或与的关系 6 【考试题型2】已知与的关系；或与的关系 7 【考试题型3】已知等式中左侧含有： 8 考点清单：04数列求通项之构造法 8 【考试题型1】形如 8 【考试题型1】形如 9 考点清单：05数列求通项之倒数法 9 【考试题型1】：形如 9 考点清单：06数列求和之倒序相加法 10 【考试题型1】倒序相加求和 10 考点清单：07数列求和之分组求和法 10 【考试题型1】形如 10 【考试题型2】形如 11 考点清单：08数列求和之列项相消法 12 【考试题型1】等差型：形如 12 【考试题型2】无理型：形如 13 【考试题型3】指数型：形如 14 考点清单：09数列求和之错位相减法 15 【考试题型1】形如（一个等差数列乘以一个等比数列） 15 考点清单：10数列求和之通项含绝对值求和 16 【考试题型1】形如，求的前项和 16 一、思维导图 二、知识回归 知识点01：累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 知识点02：累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 知识点03：数列求通项（法） 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 知识点04：构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 知识点05：倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 知识点06：裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 三、典型例题讲与练 ：01数列求通项之累加法 【考试题型1】累加法求通项 【解题方法】累加法 【典例1】（2023上·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足（），且，求数列的通项公式． 【专训1-1】（2023上·福建·高二统考期中）若数列满足，，则（    ） A．511 B．1023 C．1025 D．2047 ：02数列求通项之累乘法 【考试题型1】累乘法求通项 【解题方法】累乘法 【典例1】（2023上·河北保定·高二统考期末）数列中，若，，则 ． 【典例2】（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）数列中，． (1)求数列的通项公式． 【专训1-1】（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，其前项和满足求数列的通项公式； ：03数列求通项之法 【考试题型1】已知与的关系；或与的关系 【解题方法】用，得到 【典例1】（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； 【典例2】（2023上·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知为正项数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； 【专训1-1】（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知正项数列的前项和，满足：． (1)求数列的通项公式； 【考试题型2】已知与的关系；或与的关系 【解题方法】替换题目中的 【典例1】（2023上·贵州黔西·高三校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（且）． (1)求的通项公式； 【典例2】（2023上·甘肃庆阳·高二校考期末）设是数列的前n项和，且． (1)证明：数列是等差数列； 【专训1-1】（2023上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且. (1)求；