专题03 全等三角形培优综合专项训练（一线三等角模型）-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（广东专用）

专题03 全等三角形培优综合专项训练（一线三等角模型） 模型说明 应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。 例1：（外K字型）（2023上·广东韶关·八年级校考期中）如图1，在中，，，直线经过点，过点，分别作，，垂足分别为点和，，． (1)求证：；求的长； (2)如图，点以个单位长度秒的速度从点出发沿着边运动，到终点，点以个单位长度秒的速度从点出发沿着线运动，到终点．，两点同时出发，运动时间为秒，当点到达终点时，两点同时停止运动，过点作于点，过点作于点； 当点在线段上时，用含有的代数式表示线段的长度； 当与全等时，求的值． 例2：（内K字型）综合与实贱： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，中，，点E为外一点，，过B作，垂足分别为．求证：． 独立思考：（1）请证明王老师提出的问题． 实践探究：（2）王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答． “如图2，中，，点D是上一点，于E，求证：”． 问题解决： （3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现： “如图3，中，，点D为上一点，，过点A作，且，连接．若，请直接写出的值为__________．” 例3：（与函数综合）（2022上·广东湛江·八年级统考期末）如图，已知A(3，0)，B(0，-1)，连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA=BC，连接AC （1）如图1，求C点坐标； （2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA=CQ； （3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，直接写出此时∠APB的度数及P点坐标 【变式训练】 1．（2023下·广东深圳·七年级南山实验教育麒麟中学校考期中）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 2．（2022上·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，连接DE，求证：； (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M． 求证：； (3)当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若，则的值为______． 3．（2022上·广东汕头·八年级汕头市潮阳实验学校校考期中）等腰，，，点A是y轴的正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上； (1)如图1，若，，求C点坐标； (2)如图2，如图，以为直角边在y轴的左边作等腰，，连接，试问A点在运动过程中与面积的比值是否会发生变化？如果没有变化，请求出．若变化，请说明理由． (3)如图3，点，E在x轴负半轴上的动点，且．以为边在第二象限作等腰，连接交轴于P点，问：在运动过程中的面积大小是否变化？若不变，请求出面积；若变化，请求出其取值范围． 4．（2022下·广东清远·七年级统考期末）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，，垂足分别为点、．证明：①；②．    （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．      （3）如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．    1.（2022上·广东深圳·八年级深圳市福田区莲花中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx＋1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），点P是直线AB上方第一象限内的动点． (1)求直线AB的表达式和点A的坐标； (2)点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标； (3)当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 2.（2023上·广东东莞·八年级校考阶段练习）在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足． （1）如图1，当直线l不与底边AB相交时，求证：EF=AE+BF． （2）如图2，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边交于点D，请你探究直线l在如下三种可能的位置时，EF、AE、BF三者之间的数量关系． ①当AD>BD时； ②当AD<BD时．（①②直接写出答案） 3．（2022·广东广州·华南师大附中校考三模）在我们的数学课本上有这样一道练习题： 已知，如图1所示，△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过