专题02 解直角三角形及其应用（知识串讲+9大考点）-2023-2024学年九年级数学下册重难考点一遍过（人教版）

专题02 解直角三角形及其应用 考点类型 知识串讲 （一）直角三角形边角关系 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　， ， 　　④，h为斜边上的高. （二）解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由=，求∠A； ∠B=90°－∠A； 斜边，一直角边(如c，a) 由=，求∠A； ∠B=90°－∠A； 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， （三）解直角三角形应用的相关概念 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 考点训练 考点1：网格中解直角三角形 典例1：（2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，的顶点在网格图的格点上，的值为（  ）    A． B． C． D． 【变式1】（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为（    ）．    A． B． C． D． 【变式2】（2023·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）如图是个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角 为，点，，，都在格点上，且线段，相交于点，则的值是(    )    A． B． C． D． 【变式3】（2023·湖北恩施·统考二模）如图，在的正方形网格中，的顶点是正方形网格的格点，则（    ）    A． B． C． D． 考点2：坐标系中解直角三角形 典例2：（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2023·河南周口·校联考三模）如图，点A，B的坐标分别是和，分别以点A，B为圆心，以的长为半径作弧，两弧在第二象限交于点C，连接，．则点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2023秋·广东佛山·九年级校考期末）一块直角三角板按如图放置，顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【变式3】（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点在第一象限内，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转后，点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 考点3：解直角三角形——直接法 典例3：（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A和点B在x轴上，且点B的坐标为，，求点C的坐标． 【变式1】（2022秋·陕西宝鸡·九年级校考期末）如图，在中，于D，，，，求的值．    【变式2】（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在中，直径与弦相交于点P，．    (1)求的度数； (2)若，求直径的长． 【变式3】（2023春·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图线段是的直径，弦，垂足为H，点M是弧上任意一点，，，求的值．    考点4：解直角三角形——化斜为直 典例4：（2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.    (1)若，求