专题5.1 任意角与弧度制（讲+练，14大考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题5.1 任意角与弧度制 知识点一 角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 知识点二 弧度制的定义和公式 1.定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2.公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.特殊角的互化 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 　　 　　 　　 　　 　　 　　 π 　　 2π 4.提醒：有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 知识点三 重要结论 1.轴线角： 角的终边的位置 集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z} 终边落在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} 终边落在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} 终边落在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z} 终边落在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 终边落在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z} 终边落在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z} 2.象限角： 象限角 集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 考点01 周期现象 【典例1】（2021下·高一课时练习）如图所示的弹簧振子在之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过两点，经历的时间为，过N点后，再经过第一次反向通过N点，振子在这内共通过了的路程，则振子的振动周期 ． 【典例2】（2020·高一课时练习）今天是星期三，那么天后的那一天是星期几?天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几? 考点02 任意角的概念 【典例3】（2023上·高一课时练习）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 【典例4】（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 . 【规律方法】 注意角的形成过程中，射线的旋转方向，分清角的正负.． 考点03 终边相同的角 【典例5】（2023上·安徽·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【典例6】（2023·全国·九年级随堂练习）与角终边相同的角的集合是 ． 考点04 确定终边相同的角 【典例7】（2023·全国·高一专题练习）若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是 . 【典例8】（2023·全国·高一随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【规律方法】 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角． 考点05 判断角所在象限 【典例9】（2023上·甘肃天水·高一秦安县第一中学校考期末）若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【典例10】（2023上·四川南充·高二仪陇中学校考）已知角终边上有一点，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【方法技巧】 象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 考点06 终边在直线上的角 【典例11】